Lemmes de zéros et nombres transcendants

Bertrand, Daniel

Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668, Astérisque, no. 145-146 (1987), Exposé no. 652, 24 p.

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Bertrand, Daniel. Lemmes de zéros et nombres transcendants, dans Séminaire Bourbaki : volume 1985/86, exposés 651-668, Astérisque, no. 145-146 (1987), Exposé no. 652, 24 p. http://www.numdam.org/item/SB_1985-1986__28__21_0/

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(1) C'est précisément une hypothèse de type Cohen - Macaulay qu'on trouvera dans la version définitive de [40] (voir aussi D. Brownawell : Note on a paper of P. Philippon, Prep. IAS, Princeton, 1986). Elle permet, dans la conclusion du théorème 2, de remplacer δN-d par deg G .

(2) Il s'agit ici d'une version relative du résultat de [22], également établie par H. Lange (Families of translations of commutative algebraic groups, Prep. Univ. Erlangen, 1985).

(3) En introduisant la dimension t du plus grand sous-espace vectoriel de V défini sur Q. M. Waldschmidt (On Gel'fond - Schneider's method in several variables, Proc. Conf. Durham, 1986) est parvenu à recouvrir d'un énoncé les théorèmes 3 et 4. Dans la situation de la proposition 5, il obtient ainsi l'inégalité : l ≤ (n-t)(n+1) , d'où le résultat de la proposition 6 pour t = n .

(4) Pour une application de ce principe aux valeurs de fonctions hypergéométriques, voir J. Wolfart : Fonctions hypergéométriques : arguments exceptionnels et groupe de monodromie, in "Problèmes diophantiens 85-86", Publ. Univ. Paris VI, 1986, exp. n° 9.

(5) , (6) Comme l'ont démontré P. Philippon et M. Waldschmidt (Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Prep. Univ. Paris VI, 1986), la restriction imposée à V à la proposition 7 peut être levée dans tous les cas (sous réserve, bien entendu, d'admettre dans la conclusion la possibilité que L(u) soit nulle). Leur méthode permet, à la proposition 8, de remplacer l'exposant de log U par n'importe quel nombre réel > n et de supprimer la référence à End J dans son corollaire.

(7) Cette dépendance pourrait être explicitée, grâce aux estimations de hauteurs sur l'espace de Siegel établies par D. Masser pour obtenir une version modulaire de [28] (voir : Specializations of finitely generated subgroups of abelian varieties, Prep. Univ. Ann Arbor, 1986).