Nouvelles formulations intégrales pour les problèmes de diffraction d'ondes
ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique, Tome 38 (2004) no. 1, pp. 157-175.

On présente un formalisme intégral destiné à la résolution de l'équation de Helmholtz en domaine non borné. Ce formalisme repose sur la factorisation de l'un des projecteurs de Calderón par un opérateur dont la vocation est d'approcher au mieux l'admittance externe de l'objet diffractant. On montre alors comment le calcul pseudo-différentiel permet d'envisager la construction d'approximations conduisant à des équations intégrales sans résonance, bien posées à toutes les fréquences. Une technique de mise en œuvre est ensuite exposée, où de nombreux arguments provenant du calcul pseudo-différentiel interviennent encore. Enfin, on présente quelques résultats numériques venant conforter la démarche. Principalement, on constate que les systèmes issus du nouveau formalisme sont très bien conditionnés comparés à ceux provenant d'équations plus classiques.

We present an integral equation method for solving boundary value problems of the Helmholtz equation in unbounded domains. The method relies on the factorisation of one of the Calderón projectors by an operator approximating the exterior admittance (Dirichlet to Neumann) operator of the scattering obstacle. We show how the pseudo-differential calculus allows us to construct such approximations and that this yields integral equations without internal resonances and being well-conditioned at all frequencies. An implementation technique is elaborated, where again reasonings from pseudo-differential calculus play an important rôle. Some numerical examples are presented which appear to confirm that the new integral equation leads to linear systems which are much better conditioned than the classical (“direct”) integral equations and hence have much better behaviour when solved with iterative techniques and matrix sparsification.

DOI : 10.1051/m2an:2004008
Classification : 35C15, 35J05, 31B10, 47G30, 65B99, 75S15
Mots clés : Équations intégrales, opérateurs pseudo-différentiels, équation de Helmholtz
@article{M2AN_2004__38_1_157_0,
     author = {Levadoux, David P. and Michielsen, Bastiaan L.},
     title = {Nouvelles formulations int\'egrales pour les probl\`emes de diffraction d'ondes},
     journal = {ESAIM: Mod\'elisation math\'ematique et analyse num\'erique},
     pages = {157--175},
     publisher = {EDP-Sciences},
     volume = {38},
     number = {1},
     year = {2004},
     doi = {10.1051/m2an:2004008},
     zbl = {1130.35326},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1051/m2an:2004008/}
}
TY  - JOUR
AU  - Levadoux, David P.
AU  - Michielsen, Bastiaan L.
TI  - Nouvelles formulations intégrales pour les problèmes de diffraction d'ondes
JO  - ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique
PY  - 2004
SP  - 157
EP  - 175
VL  - 38
IS  - 1
PB  - EDP-Sciences
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1051/m2an:2004008/
DO  - 10.1051/m2an:2004008
LA  - en
ID  - M2AN_2004__38_1_157_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Levadoux, David P.
%A Michielsen, Bastiaan L.
%T Nouvelles formulations intégrales pour les problèmes de diffraction d'ondes
%J ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique
%D 2004
%P 157-175
%V 38
%N 1
%I EDP-Sciences
%U http://www.numdam.org/articles/10.1051/m2an:2004008/
%R 10.1051/m2an:2004008
%G en
%F M2AN_2004__38_1_157_0
Levadoux, David P.; Michielsen, Bastiaan L. Nouvelles formulations intégrales pour les problèmes de diffraction d'ondes. ESAIM: Modélisation mathématique et analyse numérique, Tome 38 (2004) no. 1, pp. 157-175. doi : 10.1051/m2an:2004008. http://www.numdam.org/articles/10.1051/m2an:2004008/

[1] N. Bartoli and F. Collino, Integral equations via saddle point problem for 2D electromagnetic problems. ESAIM: M2AN 34 (2000) 1023-1049. | Numdam | Zbl

[2] L. Boutet De Monvel, Boundary problems for pseudo-differential operators. Acta Math. 126 (1971) 11-51. | Zbl

[3] F. Canning, Improved impedance matrix localisation method. IEEE Trans. Ant. Prop. 41 (1993) 659-667.

[4] D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Springer-Verlag (1992). | MR | Zbl

[5] A. De La Boudonnaye, High frequency approximation of integral equations modelling scattering phenomena. RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 28 (1994) 223-241. | Numdam | Zbl

[6] B. Després, Fonctionnelle quadratique et équations intégrales pour les équations de Maxwell harmoniques en domaine extérieur. C.R. Acad. Sciences, Série I 323 (1996) 547-552. | Zbl

[7] L. Hörmander, Fourier Integral Operators. Springer-Verlag (1994). | MR

[8] F. Hu, A spectral boundary integral equation method for the 2D Helmholtz equation. J. Comput. Phys. 120 (1995) 340-347. | Zbl

[9] D. Levadoux, Étude d'une équation intégrale adaptée à la résolution hautes fréquences de l'équation de Helmholtz. Thèse de doctorat, Université Paris VI, France (2001).

[10] D. Levadoux and B. Michielsen, Analysis of a boundary integral equation for high frequency Helmholtz problems. Fourth International Conf. Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Colorado, 1-5 June (1998). | Zbl

[11] V. Rokhlin, Diagonal form of translation operators for the Helmholtz equation in three dimensions. Rapport technique YALEU/DCS/RR-894, Yale University, Department of Computer Science (1992). | MR | Zbl

[12] L. Schwartz, Théorie des Distributions. Hermann (1966). | MR | Zbl

Cité par Sources :