Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 367-377.

Soit B une algèbre de quaternions définie sur un corps de nombres k. Nous associons à tout couple de symboles de Hilbert {a,b} et {c,d} pour B un invariant ρ=ρ R [𝒟(a,b)],[𝒟(c,d)] dans un quotient du groupe des classes au sens restreint de k. Cet invariant a son origine dans l’étude des sous-groupes finis d’un groupe kleinien arithmétique maximal. Il mesure la distance entre les ordres 𝒟(a,b) et 𝒟(c,b) dans B associés à a,b et c,d. Si a=c, nous calculons ρ R ([𝒟(a,b)],[𝒟(c,d)]) en termes de l’arithmétique du corps k(a). Le problème d’étendre ce calcul au cas général conduit à l’étude d’un graphe fini lié aux différents symboles de Hilbert pour B. Nous considérons en détail un exemple issu de la détermination de la plus petite variété hyperbolique arithmétique de dimension trois.

Let B be a quaternion algebra over a number field k. To a pair of Hilbert symbols {a,b} and {c,d} for B we associate an invariant ρ=ρ R [𝒟(a,b)],[𝒟(c,d)] in a quotient of the narrow ideal class group of k. This invariant arises from the study of finite subgroups of maximal arithmetic kleinian groups. It measures the distance between orders 𝒟(a,b) and 𝒟(c,d) in B associated to {a,b} and {c,d}. If a=c, we compute ρ R ([𝒟(a,b)],[𝒟(c,d)]) by means of arithmetic in the field k(a). The problem of extending this algorithm to the general case leads to studying a finite graph associated to different Hilbert symbols for B. An example arising from the determination of the smallest arithmetic hyperbolic 3-manifold is discussed.

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