The integer transfinite diameter of intervals and totally real algebraic integers

Flammang, V.; Rhin, G.; Smyth, C. J.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 1, pp. 137-168.

Dans cet article, nous inspirant de travaux récents d’Amoroso d’une part, de Borwein et Erdélyi d’autre part, nous donnons une majoration et une minoration du diamètre transfini entier de petits intervalles $[\frac{r}{s},\frac{r}{s}+\delta ]$ ou $\frac{r}{s}$ est un rationnel fixé et $\delta$ tend vers $0$. Nous étudions également des fonctions $g_{-},g,g^{+}$ associées au diamètre transfini d’intervalles de Farey. Nous introduisons ensuite la notion de polynômes critiques pour un intervalle $I$. Nous montrons que ces polynômes ont la propriété de diviser tout polynôme à coefficients entiers ayant un maximum suffisamment petit sur $I$. Aparicio, puis Borwein et Erdélyi ont obtenu des résultats pour le polynôme critique $x$ sur l’intervalle $[0,1]$ ; résultats que nous prolongeons à tout polynôme critique sur un intervalle arbitraire. Par ailleurs, comme conséquence facile de nos résultats, nous montrons : si $\alpha$ est une entier algébrique totalement réel, de plus petit conjugué ${\alpha }_1$ alors, sauf pour un petit nombre d’exceptions explicites, la valeur moyenne de $\alpha$ et de ses conjugués est supérieure à ${\alpha }_1+1.6$.

In this paper we build on some recent work of Amoroso, and Borwein and Erdélyi to derive upper and lower estimates for the integer transfinite diameter of small intervals $[\frac{r}{s},\frac{r}{s}+\delta ]$, where $\frac{r}{s}$ is a fixed rational and $\delta \to 0$. We also study functions $g_{-},g,g^{+}$ associated with transfinite diameters of Farey intervals. Then we consider certain polynomials, which we call critical polynomials, associated to a given interval $I$. We show how to estimate from below the proportion of roots of an integer polynomial which is sufficiently small on $I$ which must also be roots of the critical polynomial. This generalises now classical work of Aparicio, and extends the techniques of Borwein and Erdélyi from the critical polynomial $x$ for $[0,1]$ to any critical polynomial for an arbitrary interval. As an easy consequence of our results, we obtain an inequality about algebraic integers of independent interest : if $\alpha$ is totally real, with minimum conjugate ${\alpha }_1$, then, with a small number of explicit exceptions, the mean value of $\alpha$ and its conjugates is at least ${\alpha }_1+1.6$.

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