Sur le diamètre transfini entier d'un intervalle à extrémités rationnelles

Flammang, Valérie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 3, pp. 779-793.

Dans cet article nous améliorons des encadrements connus du diamètre transfini entier d’intervalles dont les bornes sont deux éléments consécutifs d’une suite de Farey. Nous verrons comment la majoration du diamètre transfini de tels intervalles dépend de la minoration de certaines mesures de polynômes unitaires, à coefficients entiers et totalement positifs, mesures qui généralisent la longueur usuelle. D’autre part, appliquant un lemme classique sur les résultants à une famille de polynômes totalement positifs introduite par C.J. Smyth, nous obtenons des minorations de ces intervalles. Ces majorations et minorations améliorent des résultats récents de F. Amoroso.

In this paper we give new upper and lower bounds for the integer transfinite diameter of intervals $I=[\frac{p}{q},\frac{r}{s}]$ where $|ps-qr|=1$. We will see how the upper bound of such intervals depends on the lower bound of some measures of monic, totally positive polynomials with integer coefficients. (These measures generalize the usual length.) The lower bounds are obtained by applying a classic resultant’s lemma to a family of totally positive polynomials introduced by C.J. Smyth. These upper and lower bounds improve recent Amoroso’results.

[1] F. Amoroso, Sur le diamètre transfini entier d'un intervalle réel, Annales de l'Institut Fourier, 40-4 (1990), 885-911. | Numdam | MR | Zbl

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