Coleff-Herrera currents, duality, and noetherian operators

Andersson, Mats

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 535-554.

Soit $ℐ$ un sous-faisceau cohérent d’un faisceau localement libre $𝒪\left(E_0\right)$ et supposons que $ℱ=𝒪\left(E_0\right)/ℐ$ ait une codimension pure. En partant d’un courant résiduel $R$, obtenu à partir d’une résolution localement libre de $ℱ$, nous construisons un courant de Coleff-Herrera vectoriel $\mu$ à support sur la variété associée à $ℱ$, tel que $\phi$ soit dans $ℐ$ si et seulement si $\mu \phi =0$. Un tel courant $\mu$ peut également être dérivé algébriquement grâce à un théorème fondamental de Roos sur le foncteur bidualisant, et nous étudions le lien entre les deux approches. Par une construction due à Björk, on obtient des opérateurs noethériens pour $ℐ$ à partir du courant $\mu$. Le courant $R$ nous fournit également une réalisation explicite de la décomposition de Dickenstein-Sessa, ainsi que d’autres isomorphismes canoniques afférents.

Let $ℐ$ be a coherent subsheaf of a locally free sheaf $𝒪\left(E_0\right)$ and suppose that $ℱ=𝒪\left(E_0\right)/ℐ$ has pure codimension. Starting with a residue current $R$ obtained from a locally free resolution of $ℱ$ we construct a vector-valued Coleff-Herrera current $\mu$ with support on the variety associated to $ℱ$ such that $\phi$ is in $ℐ$ if and only if $\mu \phi =0$. Such a current $\mu$ can also be derived algebraically from a fundamental theorem of Roos about the bidualizing functor, and the relation between these two approaches is discussed. By a construction due to Björk one gets Noetherian operators for $ℐ$ from the current $\mu$. The current $R$ also provides an explicit realization of the Dickenstein-Sessa decomposition and other related canonical isomorphisms.

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