The Nagaev-Guivarc'h method via the Keller-Liverani theorem

Hervé, Loïc; Pène, Françoise

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 3, pp. 415-489.

La méthode de Nagaev-Guivarc’h, via le théorème de perturbation de Keller et Liverani, a été appliquée récemment en vu d’établir des théorèmes limites pour des fonctionnelles non bornées de chaînes de Markov fortement ergodiques. La difficulté principale dans cette approche est de démontrer des développements de Taylor pour la valeur propre perturbée de l’opérateur de Fourier. Dans ce travail, nous donnons une présentation générale de cette méthode, et nous l’étendons en démontrant un théorème limite local multidimensionnel, un théorème de Berry-Esseen unidimensionnel, un développement d’Edgeworth d’ordre 1, et enfin un théorème de Berry-Esseen multidimensionnel au sens de la distance de Prohorov. Nos applications concernent les chaînes de Markov ${Ł}^2$-fortement ergodiques, $v$-géométriquement ergodiques, et les modèles itératifs. Pour ces exemples, les trois premiers théorèmes limites cités précédemment sont satisfaits sous des conditions de moment dont l’ordre est le même (parfois à $\epsilon >0$ près) que dans le cas indépendant.

The Nagaev-Guivarc’h method, via the perturbation operator theorem of Keller and Liverani, has been exploited in recent papers to establish limit theorems for unbounded functionals of strongly ergodic Markov chains. The main difficulty of this approach is to prove Taylor expansions for the dominating eigenvalue of the Fourier kernels. The paper outlines this method and extends it by stating a multidimensional local limit theorem, a one-dimensional Berry-Esseen theorem, a first-order Edgeworth expansion, and a multidimensional Berry-Esseen type theorem in the sense of the Prohorov metric. When applied to the exponentially ${Ł}^2$-convergent Markov chains, to the $v$-geometrically ergodic Markov chains and to the iterative Lipschitz models, the three first above cited limit theorems hold under moment conditions similar, or close (up to $\epsilon >0$), to those of the i.i.d. case.

Classification : 60J05, 60F05
Keywords: Markov chains, central limit theorems, edgeworth expansion, spectral method
Mot clés : chaîne de Markov, théorème limite central, développement d'Edgeworth, méthode spectrale

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