[Structures d'algèbres de Batalin-Vilkovisky sur la cohomologie de Hochschild]
Soit une variété lisse orientée compact simplement connexe de dimension . Soit un corps commutatif quelconque. Nous montrons que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild des cochaînes singulières de , , s’étend en une algèbre de Batalin-Vilkovisky. L’existence d’une telle algèbre de Batalin-Vilkovisky était conjecturée. Il est prévu qu’une telle algèbre soit isomorphe à l’algèbre de Batalin-Vilkovisky sur l’homologie des lacets libres sur , , introduite par Chas and Sullivan. Nous montrons aussi que la cohomologie cyclique négative possède un crochet de Lie. Ce crochet de Lie devrait coincider avec le crochet des cordes de Chas et Sullivan sur l’homologie équivariante .
Let be any compact simply-connected oriented -dimensional smooth manifold and let be any field. We show that the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology on the singular cochains of , , extends to a Batalin-Vilkovisky algebra. Such Batalin-Vilkovisky algebra was conjectured to exist and is expected to be isomorphic to the Batalin-Vilkovisky algebra on the free loop space homology on , introduced by Chas and Sullivan. We also show that the negative cyclic cohomology has a Lie bracket. Such Lie bracket is expected to coincide with the Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology .
Keywords: string topology, Batalin-Vilkovisky algebra, Gerstenhaber algebra, Hochschild cohomology, free loop space
Mot clés : topologie des cordes, algèbre de Batalin-Vilkovisky, algèbre de Gerstenhaber, cohomologie de Hochschild, lacets libres
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Menichi, Luc. Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 277-295. doi : 10.24033/bsmf.2576. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2576/
[1] « String topology », preprint arXiv:math/9911159, 1999.
& -[2] « String topology of classifying spaces », preprint arXiv:math.AT/0801.0174, 2008. | MR | Zbl
& -[3] « On a general chain model of the free loop space and string topology », preprint arXiv:0708.1197, 2007. | MR
-[4] « A homotopic theoretic realization of string topology », Math. Ann. 324 (2002), p. 773-798. | MR | Zbl
& -[5] « Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories », Adv. Math. 210 (2007), p. 165-214. | MR | Zbl
-[6] Cyclic homology in non-commutative geometry, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 121, Springer, 2004. | MR | Zbl
, & -[7] Methods of representation theory, vol. 1, J. Wiley and Sons, New York, 1981. | MR | Zbl
& -[8] « Calabi-Yau Frobenius algebras », preprint arXiv:0710.3391, 2007. | MR | Zbl
& -[9] « Gorenstein spaces », Adv. in Math. 71 (1988), p. 92-112. | MR | Zbl
, & -[10] -, Rational homotopy theory, Graduate Texts in Math., vol. 205, Springer, 2000.
[11] « Gerstenhaber duality in Hochschild cohomology », J. Pure Appl. Algebra 199 (2005), p. 43-59. | MR | Zbl
, & -[12] « Rational BV-algebra in string topology », preprint arXiv:0705.4194, 2007. | Numdam | Zbl
& -[13] « The Hochschild cohomology of a closed manifold », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 99 (2004), p. 235-252. | Numdam | MR | Zbl
, & -[14] -, « Rational string topology », J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9 (2007), p. 123-156. | MR
[15] « On a variant of noncommutative differential geometry », Dokl. Akad. Nauk SSSR 308 (1989), p. 1293-1297. | MR | Zbl
, & -[16] « The cohomology structure of an associative ring », Ann. of Math. 78 (1963), p. 267-288. | MR | Zbl
-[17] « Calabi-yau algebras », preprint arXiv:math/0612139v3, 2006.
-[18] « The Hochschild cohomology of a Poincaré algebra », preprint arXiv:0707.4118, 2007.
-[19] « Cyclic homology and equivariant homology », Invent. Math. 87 (1987), p. 403-423. | MR | Zbl
-[20] « A proof of a cyclic version of Deligne's conjecture via Cacti », preprint arXiv:math.QA/0403340, 2004. | MR | Zbl
-[21] -, « Moduli space actions on the Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. I. Cell operads », J. Noncommut. Geom. 1 (2007), p. 333-384. | MR | Zbl
[22] « Notes on A-infinity algebras, A-infinity categories and non-commutative geometry. I », preprint arXiv:math.RA/0606241, 2006.
& -[23] « Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras », -Theory 32 (2004), p. 231-251. | MR | Zbl
-[24] -, « String topology for spheres », to appear in Comment. Math. Helv.. | MR | Zbl
[25] « De Rham model for string topology », Int. Math. Res. Not. 55 (2004), p. 2955-2981. | MR | Zbl
-[26] « The BV algebra on Hochschild cohomology induced by infinity inner products », preprint arXiv:math.QA/0210150, 2002.
-[27] « Algebraic string operations », preprint arXiv:math/0605770, 2006. | MR | Zbl
& -[28] -, « On the cyclic Deligne conjecture », J. Pure Appl. Algebra 204 (2006), p. 280-299. | MR | Zbl
[29] -, « Infinity structure of Poincaré duality spaces », Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), p. 233-260. | MR | Zbl
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