Nilsystèmes d'ordre 2 et parallélépipèdes

Host, Bernard; Maass, Alejandro

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 3, pp. 367-405.

En topologie dynamique, une famille classique de systèmes est celle formée par les rotations minimales. La classe des nilsystèmes et de leurs limites projectives en est une extension naturelle. L'étude de ces systèmes est ancienne mais connaît actuellement un renouveau à cause de ses applications, à la fois à la théorie ergodique et en théorie additive des nombres. Les rotations minimales sont caractérisées par le fait que la relation de proximalité régionale est l'égalité. Nous introduisons une nouvelle relation, celle de bi-proximalité régionale, et montrons qu'elle caractérise les limites projectives de nilsystèmes d'ordre 2. Les rotations minimales sont liées aux suites presque périodiques et de même les nilsystèmes correspondent aux nilsuites. Ces suites introduites en théorie ergodique sont intervenues depuis dans certaines questions de théorie des nombres. De notre caractérisation des nilsystèmes d'ordre 2 nous déduisons une caractérisation des nilsuites d'ordre 2. Les démonstrations s'appuient d'une manière essentielle sur l'étude des « structures de parallélépipèdes » développée par B.Kra et le premier auteur.

One natural extension of this family is the class of nilsystems and their inverse limits. These systems have arisen in recent applications in ergodic theory and in additive combinatorics, renewing interest in studying these classical objects. Minimal rotations can be characterized via the regionally proximal relation. We introduce a new relation, the bi-regionally proximal relation, and show that it characterizes inverse limits of two step nilsystems. Minimal rotations are linked to almost periodic sequences, and more generally nilsystems correspond to nilsequences. Theses sequences were introduced in ergodic theory and have since be used in some questions of Number Theory. Using our characterization of two step nilsystems we deduce a characterization of two step nilsequences. The proofs rely in an essential way on the study of “parallelepiped structures” developed by B.Kra and the first author.

[1] J. Auslander - Minimal flows and their extensions, North-Holland Mathematics Studies, vol. 153, North-Holland Publishing Co., 1988, Notas de Matemática [Mathematical Notes], 122. | MR | Zbl

[2] J. Auslander & E. Glasner - « The distal order of a minimal flow », Israel J. Math. 127 (2002), p. 61-80. | MR | Zbl

[3] L. Auslander, L. Green & F. Hahn - Flows on homogeneous spaces, With the assistance of L. Markus and W. Massey, and an appendix by L. Greenberg. Annals of Mathematics Studies, No. 53, vol. 53, Princeton University Press, 1963. | Zbl

[4] H. Becker & A. S. Kechris - The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 232, Cambridge University Press, 1996. | MR | Zbl

[5] V. Bergelson, B. Host & B. Kra - « Multiple recurrence and nilsequences », Invent. Math. 160 (2005), p. 261-303, With an appendix by Imre Ruzsa. | MR | Zbl

[6] J.-P. Conze & E. Lesigne - Sur un théorème ergodique pour des mesures diagonales, Publications de l'Institut de Recherche de Mathématiques de Rennes, Probabilités, 1987. | Numdam | Zbl

[7] -, « Sur un théorème ergodique pour des mesures diagonales », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 306 (1988), p. 491-493. | MR | Zbl

[8] H. Furstenberg - Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, Princeton University Press, 1981, M. B. Porter Lectures. | MR | Zbl

[9] E. Glasner - « Minimal nil-transformations of class two », Israel J. Math. 81 (1993), p. 31-51. | MR | Zbl

[10] B. Green & T. Tao - « An inverse theorem for the Gowers $U^3\left(G\right)$ norm », preprint arXiv :math.NT/0503014, à paraître aux Proc. Edin. Math. Soc. | MR | Zbl

[11] -, « Linear equations in primes », preprint arXiv :math.NT/0606088, à paraître dans Annals of Math.

[12] B. Host & B. Kra - « Parallelepipeds, nilpotent groups, and Gowers norms », preprint arXiv :math.CO/0606004. | Numdam | MR | Zbl

[13] B. Host & B. Kra - « Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds », Ann. of Math. (2) 161 (2005), p. 397-488. | MR | Zbl

[14] A. Leibman - « Pointwise convergence of ergodic averages for polynomial sequences of translations on a nilmanifold », Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005), p. 201-213. | MR | Zbl

[15] D. Montgomery & L. Zippin - Topological transformation groups, Interscience Publishers, New York-London, 1955. | JFM | MR | Zbl

[16] W. Parry - « Dynamical systems on nilmanifolds », Bull. London Math. Soc. 2 (1970), p. 37-40. | MR | Zbl

[17] D. J. Rudolph - « Eigenfunctions of $T\times S$ and the Conze-Lesigne algebra », in Ergodic theory and its connections with harmonic analysis (Alexandria, 1993) (Petersen & Salama, éds.), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 205, Cambridge Univ. Press, 1995, p. 369-432. | MR | Zbl