Parallelepipeds, nilpotent groups and Gowers norms
[Parallélépipèdes, groupes nilpotents et normes de Gowers]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 3, pp. 405-437.

Dans sa preuve du théorème de Szemerédi, Gowers a introduit certaines normes définies par sommation sur des parallélépipèdes. Il est naturel de se demander sous quelles hypothèses on peut généraliser sa définition des parallélépipèdes et donc de ses normes. Nous nous restreignons aux dimensions 2 et 3 et décrivons une correspondance entre structures de parallélépipèdes et groupes nilpotents.

In his proof of Szemerédi’s Theorem, Gowers introduced certain norms that are defined on a parallelepiped structure. A natural question is on which sets a parallelepiped structure (and thus a Gowers norm) can be defined. We focus on dimensions 2 and 3 and show when this possible, and describe a correspondence between the parallelepiped structures and nilpotent groups.

DOI : 10.24033/bsmf.2561
Classification : 05B10, 11B25, 20D15, 37A45
Keywords: parallelepiped, nilpotent group, Gowers norms
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[1] N. Frantzikinakis, B. Host & B. Kra - « Multiple recurrence and convergence for sequences related to the prime numbers », J. reine angew. Math. 611 (2007), p. 131-144. | MR | Zbl

[2] N. Frantzikinakis & B. Kra - « Convergence of multiple ergodic averages for some commuting transformations », Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005), p. 799-809. | MR | Zbl

[3] H. Furstenberg - « Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions », J. Analyse Math. 31 (1977), p. 204-256. | MR | Zbl

[4] W. T. Gowers - « A new proof of Szemerédi's theorem », Geom. Funct. Anal. 11 (2001), p. 465-588. | MR | Zbl

[5] B. Green & T. Tao - « An inverse theorem for the Gowers U 3 norm », to appear in Proc. Edin. Math. Soc. | Zbl

[6] -, « Linear equations in the primes », to appear in Ann. of Math.

[7] -, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », Ann. of Math. 167 (2008). | MR | Zbl

[8] P. Hall - « A contribution to the theory of groups of prime-power order », Proc. London Math. Soc. (2) 36 (1933), p. 29-95. | MR | Zbl

[9] B. Host & B. Kra - « Convergence of polynomial ergodic averages », Israel J. Math. 149 (2005), p. 1-19, Probability in mathematics. | MR | Zbl

[10] -, « Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds », Ann. of Math. (2) 161 (2005), p. 397-488. | MR | Zbl

[11] B. Host & A. Maass - « Nilsystèmes d'ordre deux et parallélépipèdes », to appear in Bull. Soc. Math. France. | Numdam | MR | Zbl

[12] M. Lazard - « Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie », Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 71 (1954), p. 101-190. | Numdam | MR | Zbl

[13] A. Leibman - « Polynomial sequences in groups », J. Algebra 201 (1998), p. 189-206. | MR | Zbl

[14] -, « Polynomial mappings of groups », Israel J. Math. 129 (2002), p. 29-60. | MR | Zbl

[15] -, « Convergence of multiple ergodic averages along polynomials of several variables », Israel J. Math. 146 (2005), p. 303-315. | MR | Zbl

[16] J. Petresco - « Sur les commutateurs », Math. Z. 61 (1954), p. 348-356. | MR | Zbl

[17] E. Szemerédi - « On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression », Acta Arith. 27 (1975), p. 199-245, Collection of articles in memory of Juriĭ Vladimirovič Linnik. | MR | Zbl

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