Sommes de carrés de fonctions dérivables
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 619-639.

On montre que toute fonction positive de classe C 2m définie sur un intervalle de ℝ est somme de deux carrés de fonctions de classe C m . En dimension 2, toute fonction positive f de classe C 4 est somme d’un nombre fini de carrés de fonctions de classe C 2 , pourvu que ses dérivées d’ordre 4 s’annulent aux points où f et ∇ 2 f s’annulent.

We prove that any nonnegative function of class C 2m defined in an interval is the sum of two squares of functions of class C m . In dimension 2, any nonnegative function f of class C 4 is a finite sum of squares of functions of class C 2 , provided that ∇ 4 f vanishes at points x satisfying f(x)=∇ 2 f(x)=0.

DOI : 10.24033/bsmf.2499
Classification : 26A24, 26B05
Mot clés : fonctions positives, fonctions différentiables, sommes de carrés
Keywords: nonnegative functions, differentiable functions, sums of square 
@article{BSMF_2005__133_4_619_0,
     author = {Bony, Jean-Michel},
     title = {Sommes de carr\'es de fonctions d\'erivables},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {619--639},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {133},
     number = {4},
     year = {2005},
     doi = {10.24033/bsmf.2499},
     mrnumber = {2233698},
     zbl = {1107.26008},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2499/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bony, Jean-Michel
TI  - Sommes de carrés de fonctions dérivables
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2005
SP  - 619
EP  - 639
VL  - 133
IS  - 4
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2499/
DO  - 10.24033/bsmf.2499
LA  - fr
ID  - BSMF_2005__133_4_619_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bony, Jean-Michel
%T Sommes de carrés de fonctions dérivables
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2005
%P 619-639
%V 133
%N 4
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2499/
%R 10.24033/bsmf.2499
%G fr
%F BSMF_2005__133_4_619_0
Bony, Jean-Michel. Sommes de carrés de fonctions dérivables. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 619-639. doi : 10.24033/bsmf.2499. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2499/

[1] J. Bochnak, M. Coste & M.-F. Roy - Géométrie algébrique réelle, Springer-Verlag, Berlin, 1987. | MR | Zbl

[2] J.-M. Bony - « Sur l'inégalité de Fefferman-Phong », Séminaire Équations aux Dérivées Partielles, École Polytechnique, Palaiseau, 1998-1999, exp.no III. | Numdam | MR | Zbl

[3] J.-M. Bony, F. Broglia, F. Colombini & L. Pernazza - « Nonnegative functions as squares or sums of squares », à paraître. | Zbl

[4] G. Brumfiel - Partially ordered rings and semi-algebraic geometry, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 37, Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1979. | MR | Zbl

[5] C. Fefferman & D. H. Phong - « On positivity of pseudo-differential operators », Proc. Nat. Acad. Sci. USA 75 (1978), p. 4673-4674. | MR | Zbl

[6] G. Glaeser - « Racine carrée d'une fonction différentiable », 13 (1963), p. 203-210. | Numdam | MR | Zbl

[7] P. Guan - « C 2 a priori estimates for degenerate Monge-Ampère equations », 86 (1997), p. 323-346. | MR | Zbl

[8] L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1990. | Zbl

[9] N. Lerner & J. Nourrigat - « Lower bounds for pseudo-differential operators », 40 (1990), p. 657-682. | Numdam | MR | Zbl

[10] D. Tataru - « On the Fefferman-Phong inequality and related problems », 27 (2002), p. 2101-2138. | MR | Zbl

Cité par Sources :