Structure of central torsion Iwasawa modules

Howson, Susan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 507-535.

Nous décrivons une méthode pour déterminer, à pseudo-isomorphisme près, la structure d’un module de torsion sur le centre d’une algèbre d’Iwasawa d’un pro-$p$ groupe de Lie $p$-adique ne contenant pas d’élément d’ordre $p$. La méthode est semblable à celle utilisée dans le cas commutatif grâce au procédé de localisation de Ore. Nous étudions ensuite les propriétés de certains invariants qui peuvent être utiles pour déterminer la structure d’un tel module. Enfin nous traitons en détail le cas d’un pro-$p$ sous-groupe de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ et nous donnons un exemple d’application à la théorie des courbes elliptiques.

We describe an approach to determining, up to pseudoisomorphism, the structure of a central-torsion module over the Iwasawa algebra of a pro-$p$, $p$-adic, Lie group containing no element of order $p$. The techniques employed follow classical methods used in the commutative case, but using Ore’s method of localisation. We then consider the properties of certain invariants which may prove useful in determining the structure of a module. Finally, we describe the case of pro-$p$ subgroups of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ in detail and give a brief example from the theory of elliptic curves.

Classification : 11R23, 16P50
Keywords: Iwasawa theory, Euler characteristics, Iwasawa modules, structure theory
Mot clés : théorie d'Iwasawa, caractéristique d'Euler, modules d'Iwasawa

[1] J.-E. Björk - « Filtered Noetherian Rings », Noetherian Rings and their Applications, Math. Surv. Monogr., vol. 24, Oberwolfach/FRG, 1983, p. 59-97. | MR | Zbl

[2] M. Boratynsky - « A Change of Rings Theorem and the Artin-Rees Property », Proc. Amer. Math. Soc. 53 (1975), p. 307-310. | MR | Zbl

[3] S. Bosch, U. Guntzer & R. Remmert - Non-Archimedean Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 261, Springer Verlag, 1984. | MR | Zbl

[4] A. Brumer - « Pseudocompact Algebras, Profinite Groups and Class formations », J. Algebra 4 (1966), p. 442-470. | MR | Zbl

[5] J. Coates & S. Howson - « Euler Characteristics and Elliptic Curves II », J. Math. Soc. Japan 53 (2001), no. 1, p. 175-235. | MR | Zbl

[6] J. Coates & R. Sujatha - « Euler-Poincaré Characteristics of Abelian Varieties », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 329 (1999), no. 4, p. 309-313. | MR | Zbl

[7] -, Galois Cohomology of Elliptic Curves, Lecture Notes at the Tata Institute of Fundamental Research, 2000. | MR | Zbl

[8] J. Coates, R. Sujatha & J.-P. Wintenberger - « On the Euler-Poincaré Characteristics of Finite Dimensional $p$-adic Galois Representations », Publ. Math. IHES 93 (2001), p. 107-143. | Numdam | MR | Zbl

[9] P. Cohn - Algebra, vol. 1, Wiley, 1993. | MR | Zbl

[10] J. Dixon, M 1999. | MR | Zbl

[11] Y. Hachimori & K. Matsuno - « An Analogue of Kida's Formula for the Selmer Group of Elliptic Curves », J. Alg. Geom. 8 (1999), p. 581-601. | MR | Zbl

[12] M. Harris - « $p$-adic Representations Arising from Descent on Abelian Varieties », Compositio Math. 39 (1979), no. 2, p. 177-245. | Numdam | MR | Zbl

[13] S. Howson - « Euler Characteristics as Invariants of Iwasawa Modules », preprint to appear in Proc. London Math. Soc., 2002. | MR | Zbl

[14] S. Lang & H. Trotter - Frobenius Distributions in GL${}_2$-extensions: Distribution of Frobenius automorphisms in GL${}_2$-extensions of the Rational Numbers, LNM, vol. 504, Springer Verlag, 1976. | MR | Zbl

[15] J. Mcconnell & J. Robson - Noncommutative Noetherian Rings, Wiley-Interscience, 1987. | MR | Zbl

[16] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg - Cohomology of Number Fields, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Springer Verlag, 2000. | MR | Zbl

[17] A. Neumann - « Completed group algebras without zero divisors », Arch. Math. 51 (1988), p. 496-499. | MR | Zbl

[18] Y.-H. Ochi & O. Venjakob - « On the Structure of Selmer Groups over $p$-adic Lie Extensions », J. Alg. Geom. 11 (2002), no. 3, p. 547-580. | MR | Zbl

[19] A. Scholl & R. Taylor (éds.) - Galois Representations in Arithmetic and Geometry, L.M.S., C.U.P., 1998, Papers from the Durham Colloquium, 1996.

[20] J.-P. Serre - « Sur la dimension cohomologique des groupes profinis », Topology 3 (1965), p. 413-420. | MR | Zbl

[21] -, « La distribution d'Euler-Poincaré d'un groupe profini », Galois Representations in Arithmetic and Geometry, 1998, See [19].

[22] B. Totaro - « Euler Characteristics for $p$-adic Lie Groups », Publ. Math. IHES (1999), p. 169-225. | Numdam | MR | Zbl

[23] O. Venjakob - « Dissertation », Thèse, Heidelberg, 2000.

[24] C. Weibel - An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, C.U.P., 1994. | MR | Zbl