Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif

Danila, Gentiana

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 1-33.

La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif ${\mathbb{P}}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck $\mathrm{K}\left({\mathbb{P}}_2\right)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note ${\mathrm{M}}_c$ et ${\mathrm{M}}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur ${\mathbb{P}}_2$. Il existe sur ${\mathrm{M}}_c$ (resp. ${\mathrm{M}}_u$) un fibré déterminant inversible ${𝒟}_u$ (resp. ${𝒟}_c$) et le produit tensoriel externe ${𝒟}_c⊠{𝒟}_c$ sur l’espace produit ${\mathrm{M}}_c⊠{\mathrm{M}}_c$ a une section canonique ${\sigma }_{c,u}$ qui fournit une application linéaire ${𝒟}_{c,u}:{\mathrm{H}}^0{({\mathrm{M}}_u,{𝒟}_c)}^{*}\to {\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u)$. Si ${\mathrm{M}}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que ${𝒟}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2\left(c\right)=n\le 5$, et $u$ est de degré $d\left(u\right)\le 3$ et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice $P\left(t\right)={\sum }_{k\ge 0}{t}^k{h}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u^{\otimes k})$ pour $c_2\left(c\right)=3$, $c_2\left(c\right)=4$, $d\left(u\right)=1$, pour les classes $c$ et $u$ considérées ci-dessus.

Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane ${\mathbb{P}}_2$. We consider two orthogonal classes $c,u$ in the Grothendieck algebra $\mathrm{K}\left({\mathbb{P}}_2\right)$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, and we call ${\mathrm{M}}_c$ and ${\mathrm{M}}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class $c$, respectively $u$ on ${\mathbb{P}}_2$. There exists on ${\mathrm{M}}_c$ (resp. ${\mathrm{M}}_u$) a determinant bundle ${𝒟}_u$ (resp. ${𝒟}_c$) and the product fibre bundle ${𝒟}_c⊠{𝒟}_c$ on the product space ${\mathrm{M}}_c⊠{\mathrm{M}}_c$ has a canonical section ${\sigma }_{c,u}$ which provides a linear application ${𝒟}_{c,u}:{\mathrm{H}}^0{({\mathrm{M}}_u,{𝒟}_c)}^{*}\to {\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u)$. If ${\mathrm{M}}_c$ is not empty, ${𝒟}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$, zero first Chern class and second Chern class $c_2\left(c\right)\le 5$, and $u$ is of degree $d\left(u\right)\le 3$ and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series $P\left(t\right)={\sum }_{k\ge 0}{t}^k{h}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u^{\otimes k})$ for $c_2\left(c\right)=3$, $c_2\left(c\right)=4$, $d\left(u\right)=1$, for the particular classes $c$ and $u$ considered above.

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