Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif

Danila, Gentiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 5, pp. 1323-1374.

La conjecture de “dualité étrange” de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif ${\mathbb{P}}_2$. Si on considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck $\mathrm{K}\left({\mathbb{P}}_2\right)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, on note ${\mathrm{M}}_c$ et ${\mathrm{M}}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$, sur ${\mathbb{P}}_2$. Il existe sur ${\mathrm{M}}_c$ (resp. ${\mathrm{M}}_u$) un fibré déterminant ${𝒟}_u$ (resp. ${𝒟}_c$) et le produit tensoriel externe ${𝒟}_u\times {𝒟}_c$ sur l’espace produit ${\mathrm{M}}_c\times {\mathrm{M}}_u$ a une section canonique ${\sigma }_{c,u}$ qui fournit une application linéaire ${\mathrm{D}}_{c,u}:{\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_u,{𝒟}_c{)}^{*}\to {\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u)$. Si ${\mathrm{M}}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que ${\mathrm{D}}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, avec première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2\left(c\right)\le 19$, et $u$ est de degré $d\left(u\right)=1$ et de caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous calculons dans ce cas la dimension de l’espace des sections globales du fibré déterminant sur ${\mathrm{M}}_n={\mathrm{M}}_c$.

Le Potier’s “Strange Duality” conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the projective plane ${\mathbb{P}}_2$. If we consider two orthogonal classes $c,u$ in the Grothendieck algebra $\mathrm{K}\left({\mathbb{P}}_2\right)$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, we call ${\mathrm{M}}_c$ and ${\mathrm{M}}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class $c$, respectively $u$ on ${\mathbb{P}}_2$. There exists on ${\mathrm{M}}_c$ (resp. ${\mathrm{M}}_u$) a determinant bundle ${𝒟}_u$ (resp. ${𝒟}_c$) and the product fibre bundle ${𝒟}_u\times {𝒟}_c$ on the product space ${\mathrm{M}}_c\times {\mathrm{M}}_u$ has a canonical section ${\sigma }_{c,u}$ which provides a linear application ${\mathrm{D}}_{c,u}:{\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_u,{𝒟}_c{)}^{*}\to {\mathrm{H}}^0({\mathrm{M}}_c,{𝒟}_u)$. If ${\mathrm{M}}_c$ is not empty, ${\mathrm{D}}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$, zero first Chern class and second Chern class $c_2\left(c\right)\le 19$, and $u$ is of degree $d\left(u\right)=1$ and zero Euler-Poincaré characteristic. We compute in this case the dimension of the space of global sections of the determinant bundle on ${\mathrm{M}}_n={\mathrm{M}}_c$.

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