Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds III

Peternell, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 339-356.

Utilisant les résultats de la première et de la deuxième partie de ce travail, nous considérons des variétiés kählériennes minimales $X$ de dimension 3, i.e. dont le fibré canonique $K_X$ est nef. Alors $K_X$ est un fibré « good », i.e. dont la dimension de Kodaira est égale à la dimension de Kodaira numérique, sous l’exception possible que $X$ est simple, (i.e. il n’existe pas une sous-variété compacte contenant un points très general) et $X$ non Kummer. Le deuxième théorème dit que les variétés kählériennes $X$ de dimension 3 avec des singularités terminales de sorte que $K_X$ n’est pas nef, ont des contractions de Mori.

Based on the results of the first two parts to this paper, we prove that the canonical bundle of a minimal Kähler threefold (i.e. $K_X$ is nef) is good, i.e. its Kodaira dimension equals the numerical Kodaira dimension, (in particular some multiple of $K_X$ is generated by global sections); unless $X$ is simple. “Simple“ means that there is no compact subvariety through the very general point of $X$ and $X$ not Kummer. Moreover we show that a compact Kähler threefold with only terminal singularities whose canonical bundle is not nef, admits a contraction unless $X$ is simple with Kodaira dimension $-\infty .$

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