Troesch complexes and extensions of strict polynomial functors

Touzé, Antoine

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 53-99.

Nous développons une nouvelle approche des calculs d’$\mathrm{Ext}$ dans la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux, en nous basant sur les complexes de Troesch. Nous obtenons ainsi des démonstrations élémentaires de nombreux calculs classiques et de nouveaux résultats. En particulier, nous obtenons une version cohomologique des théorèmes fondamentaux de la théorie classique des invariants de $G{L}_n$ pour $n$ suffisamment grand (et nous donnons une conjecture pour les plus petites valeurs de $n$). Nous étudions également une suite spectrale de torsion de Frobenius $E^{s,t}(F,G,r)$ qui converge vers les groupes d’extensions ${\mathrm{Ext}}_{{𝒫}_{𝕜}}^{*}(F^{\left(r\right)},G^{\left(r\right)})$ entre foncteurs précomposés par le twist de Frobenius. De nombreux calculs classiques équivalent à l’effondrement de cette suite spectrale à la seconde page (par lacunarité), et elle constitue également un outil pratique pour étudier l’effet de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions. Nous démontrons de nombreux cas d’effondrement, et nous conjecturons que l’effondrement a toujours lieu.

We develop a new approach of extension calculus in the category of strict polynomial functors, based on Troesch complexes. We obtain new short elementary proofs of numerous classical $\mathrm{Ext}$-computations as well as new results. In particular, we get a cohomological version of the “fundamental theorems” from classical invariant theory for $G{L}_n$ for $n$ big enough (and we give a conjecture for smaller values of $n$). We also study the “twisting spectral sequence” $E^{s,t}(F,G,r)$ converging to the extension groups ${\mathrm{Ext}}_{{𝒫}_{𝕜}}^{*}(F^{\left(r\right)},G^{\left(r\right)})$ between the twisted functors $F^{\left(r\right)}$ and $G^{\left(r\right)}$. Many classical $\mathrm{Ext}$ computations simply amount to the collapsing of this spectral sequence at the second page (for lacunary reasons), and it is also a convenient tool to study the effect of the Frobenius twist on $\mathrm{Ext}$ groups. We prove many cases of collapsing, and we conjecture collapsing is a general fact.

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