Sur l’indépendance de $l$ en cohomologie $l$-adique sur les corps locaux

Zheng, Weizhe

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 2, pp. 291-334.

Gabber a déduit son théorème d’indépendance de $l$ de la cohomologie d’intersection d’un résultat général de stabilité sur les corps finis. Dans cet article, nous démontrons un analogue sur les corps locaux de ce résultat général. Plus précisément, nous introduisons une notion d’indépendance de $l$ pour les systèmes de complexes de faisceaux $l$-adiques sur les schémas de type fini sur un corps local équivariants sous des groupes finis et nous établissons sa stabilité par les six opérations de Grothendieck et le foncteur des cycles proches. Notre méthode permet d’obtenir une nouvelle démonstration du théorème de Gabber. Nous donnons aussi une généralisation aux champs algébriques.

Gabber deduced his theorem of independence of $l$ of intersection cohomology from a general stability result over finite fields. In this article, we prove an analogue of this general result over local fields. More precisely, we introduce a notion of independence of $l$ for systems of complexes of $l$-adic sheaves on schemes of finite type over a local field, equivariant under finite groups. We establish its stability by Grothendieck’s six operations and the nearby cycle functor. Our method leads to a new proof of Gabber’s theorem. We also give a generalization to algebraic stacks.

[1] Groupes de monodromie en géométrie algébrique (SGA 7), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1967-1969, Lecture Notes in Math. 288, 340, Springer, 1972-1973. | Zbl

[2] Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963-1964, Lecture Notes in Math. 269, 270, 305, Springer, 1972-1973. | Zbl

[3] Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1960-1961, Documents Mathématiques (Paris) 3, Soc. Math. France, 2003. | Zbl

[4] A. A. Beĭlinson, J. Bernstein & P. Deligne, Faisceaux pervers, in Analyse et topologie sur les espaces singuliers, I (Luminy, 1981), Astérisque 100, Soc. Math. France, 1982, 5-171. | MR | Zbl

[5] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 21, Springer, 1990. | Zbl

[6] B. Conrad, Deligne's notes on Nagata compactifications, preprint, 1997. | MR | Zbl

[7] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions $L$, in Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math. 349, Springer, 1973, 501-597. | MR | Zbl

[8] P. Deligne, Cohomologie étale 1977. | MR | Zbl

[9] P. Deligne, La conjecture de Weil. II, Publ. Math. I.H.É.S. 52 (1980), 137-252. | Numdam | MR | Zbl

[10] P. Deligne & G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. 103 (1976), 103-161. | MR | Zbl

[11] T. Ekedahl, On the adic formalism, in The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, Birkhäuser, 1990, 197-218. | MR | Zbl

[12] K. Fujiwara, Independence of $l$ for intersection cohomology (after Gabber), in Algebraic geometry 2000, Azumino, Adv. Stud. Pure Math. 36, Math. Soc. Japan, 2002, 145-151. | MR | Zbl

[13] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Publ. Math. I.H.É.S. 20, 24, 28, 32 (1964-1967). | Numdam | MR | Zbl

[14] L. Illusie, Miscellany on traces in $\ell$-adic cohomology : a survey, Jpn. J. Math. 1 (2006), 107-136. | MR | Zbl

[15] A. J. De Jong, Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. I.H.É.S. 83 (1996), 51-93. | Numdam | MR | Zbl

[16] A. J. De Jong, Families of curves and alterations, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 47 (1997), 599-621. | Numdam | MR | Zbl

[17] N. M. Katz, Wild ramification and some problems ofAmer. J. Math. 105 (1983), 201-227. | MR | Zbl

[18] Y. Laszlo & M. Olsson, The six operations for sheaves on Artin stacks II : adic coefficients, Publ. Math. I.H.É.S. 107 (2008), 169-210. | Numdam | MR | Zbl

[19] Y. Laszlo & M. Olsson, Perverse $t$-structure on Artin stacks, Math. Z. 261 (2009), 737-748. | MR | Zbl

[20] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. I.H.É.S. 65 (1987), 131-210. | Numdam | MR | Zbl

[21] G. Laumon, Transformation de Fourier homogène, Bull. Soc. Math. France 131 (2003), 527-551. | Numdam | MR | Zbl

[22] G. Laumon & L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 39, Springer, 2000. | MR | Zbl

[23] Y. Mieda, On $l$-independence for the étale cohomology of rigid spaces over local fields, Compos. Math. 143 (2007), 393-422. | MR | Zbl

[24] S. Morel, Complexes pondérés sur les compactifications de Baily-Borel : le cas des variétés de Siegel, J. Amer. Math. Soc. 21 (2008), 63-100. | MR | Zbl

[25] T. Ochiai, $l$-independence of the trace of monodromy, Math. Ann. 315 (1999), 321-340. | MR | Zbl

[26] T. Saito, Weight spectral sequences and independence of $l$, J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003), 583-634. | MR | Zbl

[27] J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 5e éd., Hermann, 1998. | Zbl

[28] I. Vidal, Théorie de Brauer et conducteur de Swan, J. Algebraic Geom. 13 (2004), 349-391. | MR | Zbl

[29] W. Zheng, Sur la cohomologie des faisceaux $l$-adiques entiers sur les corps locaux, Bull. Soc. Math. France 136 (2008), 465-503. | Numdam | MR | Zbl