Transformation de Fourier homogène

Laumon, Gérard

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 527-551.

Dans leur démonstration de la correspondance de Drinfeld-Langlands, Frenkel, Gaitsgory et Vilonen utilisent la transformation de Fourier géométrique, ce qui les oblige à travailler soit avec les faisceaux $\ell$-adiques en caractéristique $p>0$, soit avec les $𝒟$-Modules en caractéristique $0$. En fait, ils n’utilisent cette transformation de Fourier géométrique que pour des faisceaux homogènes pour lesquels on s’attend à avoir une transformation de Fourier sur $\mathbb{Z}$. L’objet de cette note est de proposer une telle transformation de Fourier qui prolonge la transformation de Radon géométrique étudiée par Brylinski.

In their proof of the Drinfeld-Langlands correspondence, Frenkel, Gaitsgory and Vilonen make use of a geometric Fourier transformation. Therefore, they work either with $\ell$-adic sheaves in characteristic $p>0$, or with $𝒟$-modules in characteristic $0$. Actually, they only need to consider the Fourier transforms of homogeneous sheaves for which one expects a geometric Fourier transformation over $\mathbb{Z}$. In this note, we propose such a homogeneous geometric Fourier transformation. It extends the geometric Radon transformation which has been studied by Brylinski.

[1] K. Behrend - Derived $\ell$-adic categories for algebraic stacks, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 163, American Mathematical Society, 2003. | MR | Zbl

[2] A. Beilinson, J. Bernstein & P. Deligne - Faisceaux pervers, Astérisque, vol. 100, Société Mathématique de France, 1982. | MR | Zbl

[3] J.-L. Brylinski - « Transformations canoniques, dualité projective, théorie de Lefschetz, transformations de Fourier et sommes trigonométriques », Géométrie et analyse microlocales, Astérisque, vol. 140-141, Société Mathématique de France, 1986, p. 3-134. | Numdam | MR | Zbl

[4] T. Ekedahl - « On the Adic Formalism », The Grothendieck Festschrift, vol. II, Progess in Mathematics, vol. 87, Birkhäuser, 1990, p. 197-218. | MR | Zbl

[5] E. Frenkel, D. Gaitsgory & K. Vilonen - « On the geometric Langlands conjecture », J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), p. 367-417. | MR | Zbl

[6] O. Gabber - « Notes on some $t$-structures », manuscrit, décembre 2000. | Zbl

[7] P. Gabriel - « Des catégories abéliennes », Bull. Soc. Math. France 90 (1962), p. 323-448. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[8] N. Katz & G. Laumon - « Transformation de Fourier et majoration de sommes exponentielles », Publ. Math. IHES 62 (1986), p. 145-202. | DOI | EuDML | Numdam | Zbl

[9] G. Laumon - « Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil », Publ. Math. IHES 65 (1987), p. 131-210. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[10] -, « Travaux de Frenkel, Gaitsgory et Vilonen sur la correspondance de Drinfeld-Langlands », Séminaire Bourbaki, exposé no 906, 2002. | Zbl

[11] G. Laumon & L. Moret-Bailly - Champs algébriques, Springer-Verlag, 1999. | Zbl

[12] T. Springer - « A purity result for fixed point varieties in flag manifolds », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 31 (1984), p. 271-282. | MR | Zbl