Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers

Marín, David; Mattei, Jean-François

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 6, pp. 855-903.

Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique $ℱ$ défini sur une boule fermée $\overline{𝔹}\subset {ℂ}^2$, satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice $S$. Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert $U$ de $S$ dans $\overline{𝔹}$ tel que, pour toute feuille $L$ de ${ℱ}_{\left|\right(U\setminus S)}$, l’inclusion naturelle $ı:L\hookrightarrow U\setminus S$ induit un monomorphisme ${ı}_{*}:{\pi }_1\left(L\right)\hookrightarrow {\pi }_1(U\setminus S)$ au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée  ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.

We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic foliation $ℱ$ defined in some closed ball $\overline{𝔹}\subset {ℂ}^2$ with separatrix set $S$, satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset $U\supset S$ of $𝔹$, such that for every leaf $L$ of ${ℱ}_{\left|\right(U\setminus S)}$ the natural inclusion $ı:L\hookrightarrow U\setminus S$ induces a monomorphism ${ı}_{*}:{\pi }_1\left(L\right)\hookrightarrow {\pi }_1(U\setminus S)$ at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of “foliated connexity” and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a “global monodromy representation” for the foliation.

Classification : 32M25, 32S55, 32S65, 34M20, 34M35, 34M45, 37F75, 57M05, 57M25, 57M27
Mot clés : Équations différentielles ordinaires, systèmes dynamiques, feuilletages holomorphes, champs de vecteurs, variétés de dimension trois, topologie de petite dimension, groupe fondamental, singularités, monodromie
Keywords: ordinary differential equations, holomorphic foliations, vector fields, dynamical systems, 3-Manifolds, low-dimensional topology, singularities, fondamental group, monodromy

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