The Cauchy problem for wave equations with non Lipschitz coefficients; Application to continuation of solutions of some nonlinear wave equations

Colombini, Ferruccio; Métivier, Guy

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 2, pp. 177-220.

On considère le problème de Cauchy pour des équations d’onde strictement hyperboliques : $Lu:={\sum }_{j,k=0}^n{\partial }_{y_j}\left(a_{j,k}{\partial }_{y_k}u\right)+{\sum }_{j=0}^n\{b_j{\partial }_{y_j}u+{\partial }_{y_j}\left(c_{j}u\right)\}+du=f,$ quand les coefficients de la partie principale sont seulement “Log-Lipschitz” en toutes les variables. Cette classe d’équation est invariante par changement de variables et est donc une classe naturelle pour une étude locale intrinsèque. En particulier, on montre l’existence locale, l’unicité locale et la vitesse finie de propagation pour le problème de Cauchy non caractéristique, donnant une version invariante d’un résultat antérieur du premier auteur avec N. Lerner [6]. Pour les équations non linéaires où les coefficients ci-dessus dépendent de $u$, la méthode d’estimations permet de montrer que les solutions régulières se prolongent en solutions régulières aussi longtemps qu’elles restent Log-Lipschitz.

In this paper we study the Cauchy problem for second order strictly hyperbolic operators of the form $Lu:={\sum }_{j,k=0}^n{\partial }_{y_j}\left(a_{j,k}{\partial }_{y_k}u\right)+{\sum }_{j=0}^n\{b_j{\partial }_{y_j}u+{\partial }_{y_j}\left(c_{j}u\right)\}+du=f,$ when the coefficients of the principal part are not Lipschitz continuous, but only “Log-Lipschitz” with respect to all the variables. This class of equation is invariant under changes of variables and therefore suitable for a local analysis. In particular, we show local existence, local uniqueness and finite speed of propagation for the noncharacteristic Cauchy problem. This provides an invariant version of a previous paper of the first author with N. Lerner [6]. We also give an application of the method to a continuation theorem for nonlinear wave equations where the coefficients above depend on $u$: the smooth solution can be extended as long as it remains Log-Lipschitz.

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