Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini

Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) no. 1, pp. 397-430.

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$, soit G le groupe des points $k$-rationnels d’un groupe réductif connexe défini sur une clôture algébrique ${\overline{\mathbf{F}}}_p$ de $k$ et U les points $k$-rationnels du radical unipotent d’un sous-groupe de Borel B défini sur $k$. Nous étudions le module universel C des fonctions de G dans ${\overline{\mathbf{F}}}_p$ invariantes par translation par U, en tant que module sur son algèbre de G-endomorphismes H. En utilisant un résultat de Cabanes, nous prouvons que C est plat sur H si et seulement si la catégorie des H-modules de dimension finie est équivalente à celle des ${\overline{\mathbf{F}}}_p$-représentations de dimension finie de G engendrées par leurs vecteurs U-invariants. En particulier, nous étudions la platitude de C dans le cas où G$=$GL$(n,k)$, en fonction du cardinal de $k$. Dans un travail ultérieur, nous montrerons comment ces résultats de platitude impliquent des résultats analogues pour le module universel de GL(3) sur un corps $p$-adique.

Let $k$ be a finite field of characteristic $p$, let G be the group of $k$-rational points of a connected reductive group defined over an algebraic closure ${\overline{\mathbf{F}}}_p$ of $k$, and let U be the $k$-rational points of the unipotent radical of a Borel subgroup B defined over $k$. We study the universal module C of ${\overline{\mathbf{F}}}_p$-valued functions on G that are invariant under translation by U, as a module over its G-endomorphism algebra H. Using a theorem by Cabanes, we prove that C is flat over H if and only if the category of finite dimensional H-modules is equivalent to the category of finite dimensional ${\overline{\mathbf{F}}}_p$-representations of G generated by their U-invariant subspace. We study more specifically the flatness of C when G$=$GL$(n,k)$ depending on the cardinality of $k$. In a subsequent paper, we will focus on $n=3$ and will show how some of these flatness results imply analogous statements for the universal module of the group GL(3) over a $p$-adic field.

[1] Benson, D. J. Representations and Cohomology I, Basic Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1991 | MR | Zbl

[2] Bourbaki, N. Algèbre commutative, Chapitres 1 et 2, Hermann, Paris, 1961 | MR

[3] Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, Paris, 1970 | MR | Zbl

[4] Cabanes, M.; Cabanes, M. A criterion of complete reducibility and some applications, Représentations linéaires des groupes finis (Astérisque), Volume 181-182, Soc. Math. France, Paris, 1990, pp. 93-112 | Numdam | MR | Zbl

[5] Cabanes, M.; Enguehard, M. Representation theory of finite reductive groups, Cambridge University Press, 2004 | MR | Zbl

[6] Carter, R. W. Finite Groups of Lie Type, Wiley Interscience, 1985 | MR | Zbl

[7] Carter, R. W.; Lusztig, G. Modular representations of finite groups of Lie type, Proc. London Math. Soc., Volume 32 (1976), pp. 347-384 | DOI | MR | Zbl

[8] Diamond, F. A correspondence between representations of local Galois groups and Lie-type groups, L-functions and Galois representations / edited by David Burns, Kevin Buzzard and Jan Nekovár, Cambridge University Press, 2007 | MR | Zbl

[9] Henniart, G.; Vignéras, M.-F. A Satake isomorphism for representations modulo $p$ of reductive groups over local fields, 2011 (prépublication, http://www.math.jussieu.fr/~vigneras)

[10] Herzig, F. The weight in a Serre type conjecture for tame $n$-dimensional Galois representations, Harvard University (2006) (Ph. D. Thesis) | MR

[11] Herzig, F. The weight in a Serre type conjecture for tame $n$-dimensional Galois representations, Duke Math. J., Volume 149 (2009), pp. 37-116 | DOI | MR | Zbl

[12] Herzig, F. A Satake isomorphism in characteristic $p$, Compositio Math., Volume 147 (2011) no. 1, pp. 263-283 | DOI | MR | Zbl

[13] Jantzen, J. C. Representations of algebraic groups, Mathematical Surveys and Monographs, 107, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 | MR | Zbl

[14] Jeyakumar, A. V. Principal indecomposable representations for the group $\mathrm{SL}(2,q)$, J. Algebra, Volume 30 (1974), pp. 444-458 | DOI | MR | Zbl

[15] Lam, T. Y. Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, 189, Springer-Verlag, 1999 | MR | Zbl

[16] Ollivier, R. Platitude du pro-$p$-module universel de GL${}_2\left(F\right)$ en caractéristique $p$, Compositio Math., Volume 143 (2007), pp. 703-720 | MR | Zbl

[17] Ollivier, R. Le foncteur des invariants sous l’action du pro-$p$-Iwahori de GL${}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, J. für die reine und angewandte Mathematik, Volume 635 (2009), pp. 149-185 | MR | Zbl

[18] Ollivier, R. Parabolic induction and Hecke modules in characteristic $p$ for $p$-adic GL${}_n$, Algebra and Number Theory, Volume 4-6 (2010), pp. 701-742 | DOI | MR | Zbl

[19] Ollivier, R.; Sécherre, V. Modules universels de GL(3) sur un corps $p$-adique en caractéristique $p$ (prépublication)

[20] Paškūnas, V. Coefficient systems and supersingular representations of GL${}_2\left(F\right)$, 99, Mém. Soc. Math. Fr. (NS), 2004 | Numdam | MR | Zbl

[21] Sawada, H. Endomorphism rings of split $(B,N)$-pairs, Tokyo J. Math., Volume 1 (1978) no. 1, pp. 139-148 | DOI | MR | Zbl

[22] Schneider, P.; Stuhler, U. Representation theory and sheaves on the Bruhat-Tits building, Publ. Math. IHES, Volume 85 (1997), pp. 97-191 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[23] Serre, J.-P. Linear representations of finite groups, Graduate Texts in Math., 42, Springer, 1977 | MR | Zbl

[24] Vignéras, M.-F. Représentations $l$-modulaires d’un groupe réductif $p$-adique avec $l\ne p$, Progress in Mathematics, 137, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996 | Zbl

[25] Vignéras, M.-F. Induced $R$-representations of $p$-adic reductive groups, Selecta Math. (N.S.), Volume 4 (1998) no. 4, pp. 549-623 (with an appendix by Alberto Arabia) | DOI | MR | Zbl