Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de $\mathrm{GL}(m,\mathrm{D})$

Badulescu, Ioan; Lapid, Erez; Mínguez, Alberto

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 6, pp. 2239-2266.

Dans la théorie des représentations de ${\mathrm{GL}}_n$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ et $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ des segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère est particulièrement pratique pour les représentations dites en échelle.

In the representation theory of ${\mathrm{GL}}_n$ (and its inner forms) over a non-archimedean local field there are two classification schemes due to Zelevinsky and Langlands in which the building blocks are certain segment representations $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ and $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. We give a necessary and sufficient criterion for the irreducibility of the parabolic induction $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ of segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. As a consequence we obtain new sufficient conditions for irreducibility of parabolic induction of arbitrary representations. This is particularly useful for the so called ladder representations.

[1] Aubert, Anne-Marie Dualité dans le groupe de Grothendieck de la catégorie des représentations lisses de longueur finie d’un groupe réductif $p$-adique, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 347 (1995) no. 6, pp. 2179-2189 | MR | Zbl

[2] Badulescu, Alexandre Ioan; Renard, David Zelevinsky involution and Moeglin-Waldspurger algorithm for ${\mathrm{GL}}_n\left(D\right)$, Functional analysis IX (Various Publ. Ser. (Aarhus)), Volume 48, Univ. Aarhus, Aarhus, 2007, pp. 9-15 | MR

[3] Badulescu, Alexandru Ioan On $p$-adic Speh representations (à paraître au Bulletin de la SMF)

[4] Badulescu, Alexandru Ioan Un résultat d’irréductibilité en caractéristique non nulle, Tohoku Math. J. (2), Volume 56 (2004) no. 4, pp. 583-592 | DOI | Zbl

[5] Badulescu, Alexandru Ioan Jacquet-Langlands et unitarisabilité, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 6 (2007) no. 3, pp. 349-379 | DOI | MR | Zbl

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[10] Boyer, Pascal Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math., Volume 177 (2009), pp. 239-280 | DOI | MR | Zbl

[11] Chenevier, Gaëtan; Renard, David Characters of Speh representations and Lewis Caroll identity, Represent. Theory, Volume 12 (2008), pp. 447-452 | DOI | MR | Zbl

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[13] Lapid, Erez; Mínguez, Alberto On a determinantal formula of Tadić (à paraître à Amer. J. of Math.)

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[15] Mínguez, Alberto Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique, J. Reine Angew. Math., Volume 629 (2009), pp. 107-131 | MR | Zbl

[16] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations banales de $\mathrm{GL}(m,D)$ (à paraître dans Compositio Math.)

[17] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations lisses modulo $\ell$ de $\mathrm{GL}(m,D)$ (preprint, available at http://www.math.jussue.fr/~minguez)

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[21] Tadić, Marko Induced representations of $\mathrm{GL}(n,A)$ for $p$-adic division algebras $A$, J. Reine Angew. Math., Volume 405 (1990), pp. 48-77 | MR | Zbl

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[23] Tadić, Marko Representation theory of $\mathrm{GL}\left(n\right)$ over a $p$-adic division algebra and unitarity in the Jacquet-Langlands correspondence, Pacific J. Math., Volume 223 (2006) no. 1, pp. 167-200 | DOI | MR | Zbl

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