Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de $\mathrm{GL}(m,\mathrm{D})$

Badulescu, Ioan; Lapid, Erez; Mínguez, Alberto

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 6, pp. 2239-2266.

Dans la théorie des représentations de ${\mathrm{GL}}_n$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ et $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ des segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère est particulièrement pratique pour les représentations dites en échelle.

In the representation theory of ${\mathrm{GL}}_n$ (and its inner forms) over a non-archimedean local field there are two classification schemes due to Zelevinsky and Langlands in which the building blocks are certain segment representations $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ and $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. We give a necessary and sufficient criterion for the irreducibility of the parabolic induction $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ of segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. As a consequence we obtain new sufficient conditions for irreducibility of parabolic induction of arbitrary representations. This is particularly useful for the so called ladder representations.

Classification : 22E50
Mot clés : représentation induite, irréductibilité, représentations en échelle
Keywords: induced representation, irreducibility, ladder representation

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