Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II

Mínguez, Alberto

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 5, pp. 717-741.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type $\left({\mathrm{GL}}_n,{\mathrm{GL}}_m\right)$ sur un corps $F$ localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la filtration de Kudla [11] ainsi que sur les résultats de [13] à propos de l’irréductibilité d’une représentation induite parabolique. Elle est valable pour $F$ de caractéristique quelconque et nous permet d’expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise donc les résultats de [20] et répond totalement aux questions étudiées dans [15] et [16] pour les paires duales de type II.

In this article, we give a new method for proving Howe correspondence in the case of dual pairs of type $\left({\mathrm{GL}}_n,{\mathrm{GL}}_m\right)$ over a non-Archimedean locally compact field $F$. The proof consists in combining a study on Kudla’s filtration [11] with the results of [13] about the irreducibility of a parabolically induced representation. The proof is valid for $F$ of any characteristic and allows us to make the correspondence explicit in terms of Langlands parameters. Hence it generalizes the results of [20] and answers completely all questions studied in [15] and [16] for dual pairs of type II.

Classification : 11F27, 22E50
Mot clés : représentations de groupes $p$-adiques, correspondance de Howe, correspondance thêta
Keywords: representations of $p$-adic groups, Howe correspondence, theta correspondence

[1] I. N. Bernšteĭn, Representations of $p$-adic groups, Notes by K.E. Rumelhart, Harvard Univ., 1992.

[2] I. N. Bernšteĭn & A. V. Zelevinskiĭ, Representations of the group $\mathrm{GL}(n,F),$ where $F$ is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk 31 (1976), 5-70. | Zbl

[3] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 2, Hermann, Paris, 1970.

[4] C. J. Bushnell, Representations of reductive $p$-adic groups : localization of Hecke algebras and applications, J. London Math. Soc. 63 (2001), 364-386. | MR | Zbl

[5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of $p$-adic reductive groups, preprint http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html.

[6] R. Godement & H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Math., Vol. 260, Springer, 1972. | Zbl

[7] M. Harris, S. S. Kudla & W. J. Sweet, Theta dichotomy for unitary groups, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 941-1004. | Zbl

[8] M. Harris & R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies 151, Princeton University Press, 2001. | Zbl

[9] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour $\mathrm{GL}\left(n\right)$ sur un corps $p$-adique, Invent. Math. 139 (2000), 439-455. | MR | Zbl

[10] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, in Lectures notes from the European School on Group Theory, Schloß Hirschberg, Germany, 1966. | Zbl

[11] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math. 83 (1986), 229-255. | EuDML | MR | Zbl

[12] A. Mínguez, Correspondance de Howe $l$-modulaire : paires duales de type II, Thèse, Université d'Orsay, 2006.

[13] A. Mínguez, Sur l'irréductibilité d'une induite parabolique, preprint à paraître dans J. reine angew. Math.. | Zbl

[14] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps $p$-adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. | Zbl

[15] G. Muić, Howe correspondence for discrete series representations ; the case of $\left(\mathrm{Sp}\right(n),\mathrm{O}(V\left)\right)$, J. reine angew. Math. 567 (2004), 99-150. | MR | Zbl

[16] G. Muić, Theta lifts of tempered representations for dual pairs $\left(Sp\left(2n\right),O\left(V\right)\right)$, à paraître dans Canad. J. Math.. | MR | Zbl

[17] A. J. Silberger, The Langlands quotient theorem for $p$-adic groups, Math. Ann. 236 (1978), 95-104. | EuDML | MR | Zbl

[18] M. Tadić, Induced representations of $\mathrm{GL}(n,A)$ for $p$-adic division algebras, J. reine angew. Math. 405 (1990), 48-77. | EuDML | MR | Zbl

[19] J.-L. Waldspurger, Démonstration d’une conjecture de dualité de Howe dans le cas $p$-adique, $p\ne 2$, in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 267-324. | MR | Zbl

[20] T. Watanabe, The local theta correspondence of irreducible type $2$ dual reductive pairs, Tohoku Math. J. 47 (1995), 521-540. | MR | Zbl

[21] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive $p$-adic groups. II. On irreducible representations of $\mathrm{GL}\left(n\right)$, Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 165-210. | EuDML | Numdam | MR | Zbl