Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 5, pp. 717-741.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type GL n , GL m sur un corps F localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la filtration de Kudla [11] ainsi que sur les résultats de [13] à propos de l’irréductibilité d’une représentation induite parabolique. Elle est valable pour F de caractéristique quelconque et nous permet d’expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise donc les résultats de [20] et répond totalement aux questions étudiées dans [15] et [16] pour les paires duales de type II.

In this article, we give a new method for proving Howe correspondence in the case of dual pairs of type GL n , GL m over a non-Archimedean locally compact field F. The proof consists in combining a study on Kudla’s filtration [11] with the results of [13] about the irreducibility of a parabolically induced representation. The proof is valid for F of any characteristic and allows us to make the correspondence explicit in terms of Langlands parameters. Hence it generalizes the results of [20] and answers completely all questions studied in [15] and [16] for dual pairs of type II.

DOI : 10.24033/asens.2080
Classification : 11F27, 22E50
Mot clés : représentations de groupes $p$-adiques, correspondance de Howe, correspondance thêta
Keywords: representations of $p$-adic groups, Howe correspondence, theta correspondence
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Mínguez, Alberto. Correspondance de Howe explicite  : paires duales de type II. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 5, pp. 717-741. doi : 10.24033/asens.2080. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2080/

[1] I. N. Bernšteĭn, Representations of p-adic groups, Notes by K.E. Rumelhart, Harvard Univ., 1992.

[2] I. N. Bernšteĭn & A. V. Zelevinskiĭ, Representations of the group GL (n,F), where F is a local non-Archimedean field, Uspehi Mat. Nauk 31 (1976), 5-70. | Zbl

[3] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 2, Hermann, Paris, 1970.

[4] C. J. Bushnell, Representations of reductive p-adic groups : localization of Hecke algebras and applications, J. London Math. Soc. 63 (2001), 364-386. | MR | Zbl

[5] W. Casselman, Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive groups, preprint http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html.

[6] R. Godement & H. Jacquet, Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Math., Vol. 260, Springer, 1972. | Zbl

[7] M. Harris, S. S. Kudla & W. J. Sweet, Theta dichotomy for unitary groups, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 941-1004. | Zbl

[8] M. Harris & R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies 151, Princeton University Press, 2001. | Zbl

[9] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL (n) sur un corps p-adique, Invent. Math. 139 (2000), 439-455. | MR | Zbl

[10] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, in Lectures notes from the European School on Group Theory, Schloß Hirschberg, Germany, 1966. | Zbl

[11] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math. 83 (1986), 229-255. | EuDML | MR | Zbl

[12] A. Mínguez, Correspondance de Howe l-modulaire : paires duales de type II, Thèse, Université d'Orsay, 2006.

[13] A. Mínguez, Sur l'irréductibilité d'une induite parabolique, preprint à paraître dans J. reine angew. Math.. | Zbl

[14] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps p-adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. | Zbl

[15] G. Muić, Howe correspondence for discrete series representations ; the case of ( Sp (n),O(V)), J. reine angew. Math. 567 (2004), 99-150. | MR | Zbl

[16] G. Muić, Theta lifts of tempered representations for dual pairs Sp(2n),O(V), à paraître dans Canad. J. Math.. | MR | Zbl

[17] A. J. Silberger, The Langlands quotient theorem for p-adic groups, Math. Ann. 236 (1978), 95-104. | EuDML | MR | Zbl

[18] M. Tadić, Induced representations of GL (n,A) for p-adic division algebras, J. reine angew. Math. 405 (1990), 48-77. | EuDML | MR | Zbl

[19] J.-L. Waldspurger, Démonstration d’une conjecture de dualité de Howe dans le cas p-adique, p2, in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 267-324. | MR | Zbl

[20] T. Watanabe, The local theta correspondence of irreducible type 2 dual reductive pairs, Tohoku Math. J. 47 (1995), 521-540. | MR | Zbl

[21] A. V. Zelevinsky, Induced representations of reductive p-adic groups. II. On irreducible representations of GL (n), Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 165-210. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

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