The centralizer of a classical group and Bruhat-Tits buildings

Skodlerack, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 2, pp. 515-546.

Soit $G$ un groupe unitaire défini sur un corps local non-Archimédien de caractéristique résiduelle impaire et soit $H$ le centralisateur d’un élément rationnel semi-simple de l’algèbre de Lie de $G$. Nous démontrons qu’il existe une application affine injective $H$-équivariante de l’immeuble de Bruhat-Tits ${𝔅}^1\left(H\right)$ de $H$ vers l’immeuble de Bruhat-Tits ${𝔅}^1\left(G\right)$ de $G$ qui préserve les filtrations de Moy-Prasad. La dernière propriété implique l’unicité comme suit  : soient $j$ et $j^{\prime }$ des applications de ${𝔅}^1\left(H\right)$ vers ${𝔅}^1\left(G\right)$ qui préservent les filtrations de Moy-Prasad. Nous démontrons que $j$ et $j^{\prime }$ sont égales s’il n’y a pas de tore deployé dans le centre de la composante connexe de $H$. En général, les deux diffèrent par une translation de ${𝔅}^1\left(H\right)$ si elles sont affines et vérifient une autre conditon faible.

Let $G$ be a unitary group defined over a non-Archimedean local field of odd residue characteristic and let $H$ be the centralizer of a semisimple rational Lie algebra element of $G.$ We prove that the Bruhat-Tits building ${𝔅}^1\left(H\right)$ of $H$ can be affinely and $G$-equivariantly embedded in the Bruhat-Tits building ${𝔅}^1\left(G\right)$ of $G$ so that the Moy-Prasad filtrations are preserved. The latter property forces uniqueness in the following way. Let $j$ and $j^{\prime }$ be maps from ${𝔅}^1\left(H\right)$ to ${𝔅}^1\left(G\right)$ which preserve the Moy–Prasad filtrations. We prove that if there is no split torus in the center of the connected component of $H$ then $j$ and $j^{\prime }$ are equal, and in general if both maps are affine and satisfy a mild equivariance condition they differ up to a translation of ${𝔅}^1\left(H\right).$

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