Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions

Byott, Nigel P.; Sodaïgui, Bouchaïb

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 1, pp. 303-371.

Étant donné un corps de nombres $k$ et un groupe fini $\Gamma$, on note $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ le sous-ensemble du groupe de classes localement libre $\mathrm{Cl}\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_N$ d’extensions galoisiennes modérées $N/k$ avec $\mathrm{Gal}(N/k)\cong \Gamma$. Nous déterminons $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$, et montrons que c’est un sous-groupe de $\mathrm{Cl}\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$, au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $\Gamma =V⋊C$, où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^r$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m>1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un ${𝔽}_p\left[C\right]$-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui pour $p=2$ dans Crelle, respectivement de Bruche et Sodaïgui pour $p>2$ dans J. Number Theory, lesquels couvrent seulement le cas $m=p^r-1$ et déterminent seulement l’image $ℛ\left(ℳ\right)$ de $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ sous l’extension des scalaires de $O_k\left[\Gamma \right]$ à un ordre maximal $ℳ\supset O_k\left[\Gamma \right]$ dans $k\left[\Gamma \right]$. Le résultat principal ici généralise donc le calcul de $ℛ\left(O_k\left[A_4\right]\right)$ pour le groupe alterné $A_4$ de degré 4 (le cas $p=r=2$) donné par Byott et Sodaïgui dans Compositio.

Given an algebraic number field $k$ and a finite group $\Gamma$, we write $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ for the subset of the locally free classgroup $\mathrm{Cl}\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ consisting of the classes of rings of integers $O_N$ in tame Galois extensions $N/k$ with $\mathrm{Gal}(N/k)\cong \Gamma$. We determine $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$, and show it is a subgroup of $\mathrm{Cl}\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ by means of a description using a Stickelberger ideal and properties of some cyclic codes, when $k$ contains a root of unity of prime order $p$ and $\Gamma =V⋊C$, where $V$ is an elementary abelian group of order $p^r$ and $C$ is a cyclic group of order $m>1$ acting faithfully on $V$ and making $V$ into an irreducible ${𝔽}_p\left[C\right]$-module. This extends and refines results of Byott, Greither and Sodaïgui for $p=2$ in Crelle, respectively of Bruche and Sodaïgui for $p>2$ in J. Number Theory, which cover only the case $m=p^r-1$ and determine only the image $ℛ\left(ℳ\right)$ of $ℛ\left(O_k\left[\Gamma \right]\right)$ under extension of scalars from $O_k\left[\Gamma \right]$ to a maximal order $ℳ\supset O_k\left[\Gamma \right]$ in $k\left[\Gamma \right]$. The main result here thus generalizes the calculation of $ℛ\left(O_k\left[A_4\right]\right)$ for the alternating group $A_4$ of degree 4 (the case $p=r=2$) given by Byott and Sodaïgui in Compositio.

Classification : 11R33
Keywords: Galois module structure, Rings of algebraic integers, Locally free classgroup, Fröhlich-Lagrange resolvent, Realizable classes, Embedding problem, Stickelberger ideal, Cyclic codes.
Mot clés : Structure de module galoisien, anneaux d’entiers algébriques, groupe de classes localement libre, résolvantes de Fröhlich-Lagrange, classes réalisables, problème de plongement, idéal de Stickelberger, codes cycliques.

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