Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif $p$-adique

Delorme, Patrick

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 1, pp. 155-217.

Nous prouvons la formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique. Les méthodes sont proches de celles de la preuve de Waldspurger, d’après Harish-Chandra, pour les fonctions lisses sur le groupe.

Au delà du résultat, ce travail  met en place un cadre qui devrait s’avérer utile pour d’autres formules de Plancherel, notamment pour les espaces symétriques réductifs p-adiques. En particulier, il met en valeur le role des matrices B et de leur propriété d’adjonction.

We prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. The methods are close to those of the proof of Waldspurger, folllowing Harish-Chandra, for smooth functions on the group. We hope also  that this article suggests the right framework for studying other Plancherel formulas, especially reductive p-adic symmetric spaces.  It shows in particular the role played by the B-matrices and their adjunction property.

Classification : 22E50
Mot clés : Groupe réductif p-adique, fonction de Whittaker, formule de Plancherel
Keywords: Reductive p-adic group, Whittaker function, Plancherel formula

[1] Arthur, J. A local trace formula, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1991) no. 73, pp. 5-96 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[2] Bernstein, J. On the support of the Plancherel measure, J. Geom. Phys., Volume 5 (1988), pp. 663-710 (1989) | DOI | MR | Zbl

[3] Blanc, P.; Delorme, P. Vecteurs distributions H-invariants de représentations induites pour un espace symétrique réductif $p$-adique G/H, Ann. Inst. Fourier, Volume 58 (2008), pp. 213-261 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[4] Borel, A.; Tits, J. Groupes réductifs, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 27 (1965), pp. 55-150 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[5] Bushnell, C.; Henniart, G. Generalized Whittaker models and the Bernstein center, Amer. J. Math., Volume 125 (2003), pp. 513-547 | DOI | MR | Zbl

[6] Casselman, W. Introduction to the theory of admissible representations of $p$-adic reductive groups (http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html)

[7] Casselman, W.; Shalika, J. The unramified principal series of $p$-adic groups. II. The Whittaker function, Compositio Math., Volume 41 (1980), pp. 207-231 | Numdam | MR | Zbl

[8] Deligne, P. Le “centre” de Bernstein rédigé par Pierre Deligne. Travaux en Cours (Representations of reductive groups over a local field), Hermann, Paris, 1984, pp. 1-32 | MR | Zbl

[9] Delorme, P. Théorème de Paley-Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif $p$-adique (à paraitre au J. Inst. Math. Jussieu, arXiv :0905.2598) | Zbl

[10] Delorme, P. Espace des coefficients de représentations admissibles d’un groupe réductif $p$-adique (Progr. Math.), Volume 220, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2004, pp. 131-176 | MR | Zbl

[11] Delorme, P. The Plancherel formula on reductive symmetric spaces from the point of view of the Schwartz space. Lie theory (Progr. Math.), Volume 230, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2005, pp. 135-175 | MR | Zbl

[12] Delorme, P. Constant term of smooth $H_{\psi }$-invariant functions, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 362 (2010), pp. 933-955 | DOI | MR | Zbl

[13] Heiermann, V. Une formule de Plancherel pour l’algèbre de Hecke d’un groupe réductif $p$-adique, Comment. Math. Helv., Volume 76 (2001), pp. 388-415 | DOI | MR | Zbl

[14] Humphreys, J. E. Linear algebraic groups, Graduate Text In Math, 21, Springer, 1981 | MR | Zbl

[15] Knapp, A. Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples (Reprint of the 1986 original. Princeton Landmarks in Mathematics), Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001 | MR | Zbl

[16] Matringe, N. Derivatives and asymptotics of Whittaker functions (arXiv :1004.1315)

[17] Rodier, F. Modèles de Whittaker des représentations admisssibles des groupes réductifs p-adiques quasi-déployés (manuscript non publié)

[18] Sakellaridis, Y.; Venkatesh, A. Periods and harmonic analysis on spherical varieties (preliminary version available on the web page of the first author)

[19] Shahidi, F. On certain $L$-functions, Amer. J. Math., Volume 103 (1981), pp. 297-355 | DOI | MR | Zbl

[20] Waldspurger, J.-L. La formule de Plancherel pour les groupes $p$-adiques (d’après Harish-Chandra), J. Inst. Math. Jussieu, Volume 2 (2003), pp. 235-333 | DOI | MR | Zbl

[21] Wallach, N. Real reductive groups. II, Pure and Applied Mathematics, 132-II, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1992 | MR | Zbl

[22] Warner, G. Harmonic analysis on semi-simple Lie groups. I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 188, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972 | MR | Zbl