A Galois $D$-groupoid for $q$-difference equations

Granier, Anne

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 4, pp. 1493-1516.

Nous rappelons d’abord la définition de Malgrange de $D$-groupoïde et nous définissons un $D$-groupoïde de Galois pour les équations aux $q$-différences. Nous calculons ensuite le $D$-groupoïde de Galois d’un système aux $q$-différences linéaire à coefficients constants et montrons qu’il correspond au groupe de Galois aux $q$-différences. Nous établissons enfin une conjugaison entre les $D$-groupoïdes de Galois de deux systèmes aux $q$-différences linéaires à coefficients constants équivalents et définissons ainsi, en donnant ses réalisations, un $D$-groupoïde de Galois local pour les systèmes aux $q$-différences linéaires fuchsiens.

We first recall Malgrange’s definition of $D$-groupoid and we define a Galois $D$-groupoid for $q$-difference equations. Then, we compute explicitly the Galois $D$-groupoid of a constant linear $q$-difference system, and show that it corresponds to the $q$-difference Galois group. Finally, we establish a conjugation between the Galois $D$-groupoids of two equivalent constant linear $q$-difference systems, and define a local Galois $D$-groupoid for Fuchsian linear $q$-difference systems by giving its realizations.

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[5] Granier, Anne Un $D$-groupoïde de Galois pour les équations aux $q$-différences, Université Paul Sabatier, Toulouse III (2009) (Ph. D. Thesis)

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[10] Malgrange, Bernard Systèmes différentiels involutifs, Panoramas et Synthèses [Panoramas and Syntheses], 19, Société Mathématique de France, Paris, 2005 | MR | Zbl

[11] Martinet, Jean; Ramis, Jean-Pierre Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. École norm. sup. (4), Volume 16 (1983) no. 4, p. 571-621 (1984) | Numdam | MR | Zbl

[12] van der Put, Marius; Singer, Michael F. Galois theory of difference equations, Lecture Notes in Mathematics, 1666, Springer-Verlag, Berlin, 1997 | MR | Zbl

[13] Sauloy, Jacques Théorie de Galois des équations aux $q$-différences fuchsiennes, Université Paul Sabatier, Toulouse III (1999) (Ph. D. Thesis)

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