Resurgence of the Euler-MacLaurin summation formula

Costin, Ovidiu; Garoufalidis, Stavros

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 3, pp. 893-914.

La formule sommatoire d’Euler-MacLaurin exprime la somme d’une fonction sur un réseau de points d’un intervalle comme l’addition de l’intégrale correspondante et d’un reste. Dans les cas typiques, ce reste est donné par une série asymptotique divergente du type Gevrey-1. Sous des hypothèses adéquates de décroissance de la fonction dans le demi-plan supérieur ou sur une bande verticale contenant l’intervalle de sommation, Hardy et Abel-Plana ont prouvé que cette série asymptotique est Borel sommable. Supposant que la fonction à resommer est résurgente, notre théorème principal fournit une expression, pour le reste, à la fois sous forme d’une trans-série Borel sommable et, à la fois, sous forme d’une transformée de Laplace dont l’intégrand est explicite et lui-même donné par une fonction résurgente. Notre résultat s’applique au problème d’existence de solutions d’équations différentielles linéaires avec petit paramètre, ainsi qu’à celui de la résurgence des sommes unidimensionelles de factorielles quantiques associées à des objets noués en dimension 3.

The Euler-MacLaurin summation formula compares the sum of a function over the lattice points of an interval with its corresponding integral, plus a remainder term. The remainder term has an asymptotic expansion, and for a typical analytic function, it is a divergent (Gevrey-1) series. Under some decay assumptions of the function in a half-plane (resp. in the vertical strip containing the summation interval), Hardy (resp. Abel-Plana) prove that the asymptotic expansion is a Borel summable series, and give an exact Euler-MacLaurin summation formula.

Using a mild resurgence hypothesis for the function to be summed, we give a Borel summable transseries expression for the remainder term, as well as a Laplace integral formula, with an explicit integrand which is a resurgent function itself. In particular, our summation formula allows for resurgent functions with singularities in the vertical strip containing the summation interval.

Finally, we give two applications of our results. One concerns the construction of solutions of linear difference equations with a small parameter. Another concerns resurgence of 1-dimensional sums of quantum factorials, that are associated to knotted 3-dimensional objects.

Classification : 34M30, 34M40
Keywords: Euler-MacLaurin summation formula, Abel-Plana formula, resurgence, resurgent functions, Bernoulli numbers, Borel transform, Borel summation, Laplace transform, transseries, parametric resurgence, co-equational resurgence, WKB, difference equations with a parameter, Stirling’s formula, Quantum Topology
Mot clés : formule d’addition d’Euler-MacLaurin, Abel-Plana formule, fonctions résurgentes, topologie de quantum, Bernoulli numérote, Borel transforment, addition de Borel, Laplace transforment, des transseries, résurgence paramétrique, Co-equational résurgence, WKB, équations de différence avec un paramètre, La formule de Stirling.

[1] Borel, E.. Sur les singularités des séries de Taylor, Bull. Soc. Math. France, Volume 26 (1898), pp. 238-248 | Numdam | MR

[2] Braaksma, B.L.J. Transseries for a class of nonlinear difference equations, J. Differ. Equations Appl., Volume 7 (2001), pp. 717-750 | DOI | MR | Zbl

[3] Braaksma, B.L.J.; Kuik, R. Resurgence relations for classes of differential and difference equations, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math., Volume 13 (2004), pp. 479-492 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[4] Candelpergher, B.; Nosmas, J. C.; Pham, F. Approche de la résurgence, Actualités Mathématiques, Hermann, 1993 | MR | Zbl

[5] Candelpergher, B.; Nosmas, J. C.; Pham, F. Premiers pas en calcul étranger, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 43 (1993), pp. 201-224 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Costin, O.; Costin, R. Rigorous WKB for finite-order linear recurrence relations with smooth coefficients, SIAM J. Math. Anal., Volume 27 (1996), pp. 110-134 | DOI | MR | Zbl

[7] Costin, O.; Costin, R. On Borel summation and Stokes phenomena for rank-$1$ nonlinear systems of ordinary differential equations, Duke Math. J., Volume 93 (1998), pp. 289-344 | DOI | MR | Zbl

[8] Costin, O.; Costin, R. Global reconstruction of analytic functions from local expansions, preprint, 2006

[9] Costin, O.; Garoufalidis, S. Resurgence of the Kontsevich-Zagier power series, preprint, 2006 (math.GT/0609619)

[10] Costin, O.; Garoufalidis, S. Resurgence of 1-dimensional sums of sum-product type, preprint, 2007 | MR

[11] Costin, O.; Garoufalidis, S. Resurgence of the fractional polylogarithms, preprint, 2007 (math.CA/0701743)

[12] Delabaere, E. Introduction to the Écalle theory, Computer algebra and differential equations, London Math. Soc. Lecture Note Series, Volume 193 (1994), pp. 59-101 | MR | Zbl

[13] Delabaere, E.; Pham, F. Resurgent methods in semi-classical asymptotics, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor., Volume 71 (1999), pp. 1-94 | Numdam | MR | Zbl

[14] Écalle, J. Resurgent functions, Vol. I–II, Mathematical Publications of Orsay, 81, 1981 | MR

[15] Écalle, J. Weighted products and parametric resurgence, Analyse algébrique des perturbations singulières, I (Marseille-Luminy) Travaux en Cours, Volume 47 (1991), pp. 7-49 | MR | Zbl

[16] Garoufalidis, S.; Geronimo, J. Asymptotics of $q$-difference equations, Contemporary Math. AMS, Volume 416 (2006), pp. 83-114 | MR

[17] Garoufalidis, S.; Geronimo, J.; Le, T. T. Q. Gevrey series in quantum topology, J. Reine Angew. Math. (in press) | Zbl

[18] Hardy, G. H. Divergent Series, Clarendon Press, Oxford, 1949 | MR | Zbl

[19] Jungen, R. Sur les séries de Taylor n’ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence, Comment. Math. Helv., Volume 3 (1931), pp. 266-306 | DOI | Zbl

[20] Malgrange, B. Introduction aux travaux de J. Écalle, Enseign. Math., Volume 31 (1985), pp. 261-282 | MR | Zbl

[21] Olver, F. W. J. Asymptotics and special functions, Reprint. AKP Classics, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997 | MR | Zbl

[22] Sauzin, D. Resurgent functions and splitting problems, preprint, 2006

[23] Zagier, D. Vassiliev invariants and a strange identity related to the Dedekind eta-function, Topology, Volume 40 (2001), pp. 945-960 | DOI | MR | Zbl