Sur les représentations de Krammer génériques

Marin, Ivan

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1883-1925.

Nous définissons une représentation des groupes d’Artin de type $ADE$ par monodromie de systèmes KZ généralisés, dont nous montrons qu’elle est isomorphe à la représentation de Krammer généralisée définie originellement par A.M.Cohen et D.Wales, et indépendamment par F.Digne. Cela implique que tous les groupes d’Artin purs de type sphérique sont résiduellement nilpotents-sans-torsion, donc (bi-)ordonnables. En utilisant cette construction nous montrons que ces représentations irréductibles sont Zariski-denses dans le groupe linéaire général correspondant. Il s’ensuit que tout groupe d’Artin irréductible de type sphérique est plongeable de façon Zariski-dense dans un groupe linéaire classique. Comme applications en théorie des groupes nous démontrons des propriétés de non décomposabilité en produits directs pour plusieurs sous-groupes des groupes d’Artin, et généralisons en tous types une propriété remarquable, due à D.Long, des groupes de tresses. Nous déterminons également les sous-groupes de Frattini et de Fitting, et discutons les propriétés d’unitarisabilité de ces représentations.

We define a representation of the Artin groups of type $ADE$ by monodromy of generalized KZ-systems which is shown to be isomorphic to the generalized Krammer representation originally defined by A.M.Cohen and D.Wales, and independantly by F.Digne. It follows that all pure Artin groups of spherical type are residually torsion-free nilpotent, hence (bi-)orderable. Using that construction we show that these irreducible representations are Zariski-dense in the corresponding general linear group. It follows that all irreducible Artin groups of spherical type can be embedded as Zariski-dense subgroups of some general linear group. As group-theoretical applications we prove properties of non-decomposition in direct products for several subgroups of Artin groups, and a generalization in arbitrary types of a celebrated property of D.Long for the braid groups. We also determine the Frattini and Fitting subgroups and discuss unitarity properties of the representations.

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