The Drinfeld Modular Jacobian $J_1\left(n\right)$ has connected fibers

Shastry, Sreekar M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1217-1252.

Nous étudions le modèle intégral de la courbe modulaire $X_1\left(n\right)$ de Drinfeld pour un élément irreductible $n\in {𝔽}_q\left[T\right]$. Un analogue du corps de fonctions de la théorie des courbes d’Igusa est introduit pour décrire sa réduction mod $n$. Un résultat décrivant l’anneau universel de déformation d’une paire se composant d’un module de Drinfeld supersingulier et d’un point d’ordre $n$ en termes de l’invariant de Hasse de ce module de Drinfeld est prouvé. Nous appliquons alors la résolution de Jung-Hirzebruch afin que les surfaces arithmétiques produisent un modèle régulier de $X_1\left(n\right)$ qui, après des contractions dans la fibre spéciale, donne un modèle régulier tel que la fibre au-dessus de $n$ est géométriquement intègre. Ainsi, la réduction mod $n$ du groupe des composants de $J_1\left(n\right)$ est triviale, c’est-à-dire les fibres de $J_1\left(n\right)$ sont connexes.

We study the integral model of the Drinfeld modular curve $X_1\left(n\right)$ for a prime $n\in {𝔽}_q\left[T\right]$. A function field analogue of the theory of Igusa curves is introduced to describe its reduction mod $n$. A result describing the universal deformation ring of a pair consisting of a supersingular Drinfeld module and a point of order $n$ in terms of the Hasse invariant of that Drinfeld module is proved. We then apply Jung-Hirzebruch resolution for arithmetic surfaces to produce a regular model of $X_1\left(n\right)$ which, after contractions in the special fiber, gives a regular model with geometrically integral fiber over $n$. Thus the mod $n$ component group of $J_1\left(n\right)$ is trivial, i.e. $J_1\left(n\right)$ has connected fibers.

Classification : 11F52, 14H40, 14L05, 11G09
Keywords: Component groups, Drinfeld modular curves, Igusa curves
Mot clés : Groupes composants, courbes modulaires de Drinfeld, courbes de Igusa

[1] Altman, A.; Kleiman, S. Introduction to Grothendieck duality theory, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 146, Springer-Verlag, Berlin, 1970 | MR | Zbl

[2] Bosch, S.; Lütkebohmert, W.; Raynaud, M. Néron models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 21, Springer-Verlag, Berlin, 1990 | MR | Zbl

[3] Conrad, B.; Edixhoven, B.; Stein, W. $J_1\left(p\right)$ has connected fibers, Doc. Math., Volume 8 (2003), p. 331-408 (electronic) | MR | Zbl

[4] Deligne, P.; Rapoport, M. Les schémas de modules de courbes elliptiques, Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Springer, Berlin, 1973, p. 143-316. Lecture Notes in Math., Vol. 349 | MR | Zbl

[5] Drinfeld, V. G. Elliptic modules, Mat. Sb. (N.S.), Volume 94(136) (1974), p. 594-627, 656 | MR | Zbl

[6] Fontaine, J.-M. Groupes $p$-divisibles sur les corps locaux, Société Mathématique de France, Paris, 1977 | Numdam | MR | Zbl

[7] Freitag, E.; Kiehl, R. Étale cohomology and the Weil conjecture, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 13, Springer-Verlag, Berlin, 1988 | MR | Zbl

[8] Gekeler, E.-U. Zur Arithmetik von Drinfeld-Moduln, Math. Ann., Volume 262 (1983) no. 2, pp. 167-182 | DOI | MR | Zbl

[9] Gekeler, E.-U. Über Drinfeldsche Modulkurven vom Hecke-Typ, Compositio Math., Volume 57 (1986) no. 2, pp. 219-236 | Numdam | MR | Zbl

[10] Gekeler, E.-U. de Rham cohomology and the Gauss-Manin connection for Drinfeld modules, $p$-adic analysis (Trento, 1989) (Lecture Notes in Math.), Volume 1454, Springer, Berlin, 1990, pp. 223-255 | MR | Zbl

[11] Gekeler, E.-U. de Rham cohomology for Drinfeld modules, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1988–1989 (Progr. Math.), Volume 91, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 57-85 | MR | Zbl

[12] Gekeler, E.-U. On finite Drinfeld modules, J. Algebra, Volume 141 (1991) no. 1, pp. 187-203 | DOI | MR | Zbl

[13] Goss, D. $\pi$-adic Eisenstein series for function fields, Compositio Math., Volume 41 (1980) no. 1, pp. 3-38 | Numdam | MR | Zbl

[14] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1965) no. 24, pp. 231 | Numdam | MR | Zbl

[15] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 28, pp. 255 | Numdam | MR | Zbl

[16] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. IV, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1967) no. 32, pp. 361 | Numdam | MR

[17] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental, Springer-Verlag, Berlin, 1971 | MR

[18] Hazewinkel, M. Formal groups and applications, Pure and Applied Mathematics, 78, Academic Press Inc., New York, 1978 | MR | Zbl

[19] Humphreys, J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9, Springer-Verlag, New York, 1978 | MR | Zbl

[20] Jeon, D.; Kim, C.H. On the Drinfeld modular curves $X_1\left(n\right)$, J. Number Theory, Volume 102 (2003) no. 2, pp. 214-222 | DOI | MR | Zbl

[21] Katz, N.; Mazur, B. Arithmetic moduli of elliptic curves, Annals of Mathematics Studies, 108, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1985 | MR | Zbl

[22] Laumon, G. Cohomology of Drinfeld modular varieties. Part I, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 41, Cambridge University Press, Cambridge, 1996 | MR | Zbl

[23] Lehmkuhl, T. Compactification of the Drinfeld Modular Surfaces (Unpublished)

[24] Liu, Q. Algebraic geometry and arithmetic curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 6, Oxford University Press, Oxford, 2002 | MR | Zbl

[25] Matsumura, H. Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, Cambridge, 1989 | MR | Zbl

[26] Schlessinger, M. Functors of Artin rings, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 130 (1968), pp. 208-222 | DOI | MR | Zbl

[27] Taguchi, Y. Semi-simplicity of the Galois representations attached to Drinfeld modules over fields of “infinite characteristics”, J. Number Theory, Volume 44 (1993) no. 3, pp. 292-314 | DOI | Zbl

[28] Tate, J. T. $p$-divisible groups, Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966), Springer, Berlin, 1967, pp. 158-183 | MR | Zbl

[29] Teitelbaum, J. Modular symbols for ${\mathbf{F}}_q\left(T\right)$, Duke Math. J., Volume 68 (1992) no. 2, pp. 271-295 | DOI | MR | Zbl

[30] Yasufuku, Y. Deformation Theory of Formal Modules (2000) (Unpublished)