The Drinfeld Modular Jacobian $J_1\left(n\right)$ has connected fibers

Shastry, Sreekar M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1217-1252.

Nous étudions le modèle intégral de la courbe modulaire $X_1\left(n\right)$ de Drinfeld pour un élément irreductible $n\in {𝔽}_q\left[T\right]$. Un analogue du corps de fonctions de la théorie des courbes d’Igusa est introduit pour décrire sa réduction mod $n$. Un résultat décrivant l’anneau universel de déformation d’une paire se composant d’un module de Drinfeld supersingulier et d’un point d’ordre $n$ en termes de l’invariant de Hasse de ce module de Drinfeld est prouvé. Nous appliquons alors la résolution de Jung-Hirzebruch afin que les surfaces arithmétiques produisent un modèle régulier de $X_1\left(n\right)$ qui, après des contractions dans la fibre spéciale, donne un modèle régulier tel que la fibre au-dessus de $n$ est géométriquement intègre. Ainsi, la réduction mod $n$ du groupe des composants de $J_1\left(n\right)$ est triviale, c’est-à-dire les fibres de $J_1\left(n\right)$ sont connexes.

We study the integral model of the Drinfeld modular curve $X_1\left(n\right)$ for a prime $n\in {𝔽}_q\left[T\right]$. A function field analogue of the theory of Igusa curves is introduced to describe its reduction mod $n$. A result describing the universal deformation ring of a pair consisting of a supersingular Drinfeld module and a point of order $n$ in terms of the Hasse invariant of that Drinfeld module is proved. We then apply Jung-Hirzebruch resolution for arithmetic surfaces to produce a regular model of $X_1\left(n\right)$ which, after contractions in the special fiber, gives a regular model with geometrically integral fiber over $n$. Thus the mod $n$ component group of $J_1\left(n\right)$ is trivial, i.e. $J_1\left(n\right)$ has connected fibers.

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