La formule du caractère pour les groupes de Lie presque algébriques réels

Khalgui, Mohamed Salah; Torasso, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 5, pp. 1301-1364.

Le but de ce travail est de donner une description globale du caractère des représentations unitaires irréductibles d’un groupe presque algèbrique réel, construites par M. Duflo dans le cadre de la méthode des orbites. Pour ce faire, nous démontrons sous certaines conditions une formule de localisation permettant d’exprimer le caractère d’une représentation associée à l’orbite coadjointe $\Omega$ au voisinage d’un élément elliptique $s$ en terme de la transformée de Fourier de la mesure de Liouville sur l’ensemble des points fixes ${\Omega }^s$ de $s$ dans $\Omega$. Parmi les conditions imposées, figure le fait que les mesures de Liouville sur $\Omega$ et ${\Omega }^s$ sont tempérées. Cette hypothèse est satisfaite dès que l’orbite $\Omega$ est fermée et nous obtenons dans ce cas une description globale du caractère. Notre résultat généralise ceux obtenus par M. Duflo, G. Heckman et M. Vergne pour les séries discrètes des groupes semi- simples connexes et par A. Bouaziz pour les représentations tempérées des groupes réductifs dans la classe de Harish-Chandra.

In this paper, our main aim is to give a global description of the character of the unitary irreducible representations of an almost algebraic group constructed by M. Duflo in the framework of the orbit method. In this direction we prove, under certain conditions, a localisation formula which expresses the character of a representation associated to the coadjoint orbit $\Omega$ in term of the Fourier transform of the Liouville measure on the set ${\Omega }^s$ of $s$-fixed points in $\Omega$. Among our conditions is the fact that the Liouville measures on $\Omega$ and ${\Omega }^s$ are tempered. This hypothesis is satisfied as soon as the orbit $\Omega$ is closed. We thus obtain in this case a global description of the character. Our result generalizes those of M. Duflo, G. Heckman and M. Vergne concerning the discrete series of connected semi- simple Lie groups and those of A. Bouaziz concerning the tempered representations of reductive groups in the Harish-Chandra class.

[1] M. Andler La formule de Plancherel pour les groupes algébriques complexes unimodulaires, Acta. Math, Volume 154 (1985), pp. 1-104 | DOI | MR | Zbl

[2] A. Bouaziz Sur les caractères des groupes de Lie réductifs non connexes, J. Funct. Anal, Volume 70 (1987), pp. 1-79 | DOI | MR | Zbl

[3] J.-Y. Charbonnel Sur les orbites de la représentation coadjointe, Compositio Math, Volume 46 (1982), pp. 273-305 | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-Y. Charbonnel Sur les caractères des groupes de Lie, J. Funct. Anal, Volume 72 (1987), pp. 94-150 | DOI | MR | Zbl

[5] M. Duflo; A. F. Talamanca éd. Construction de représentations unitaires d'un groupe de Lie, Harmonic Analysis and Group Representations, CIME, 1980 (1982), pp. 129-221

[6] M. Duflo Théorie de Mackey pour les groupes de Lie algébriques, Acta. Math, Volume 149 (1982), pp. 153-213 | DOI | MR | Zbl

[7] M. Duflo; R. Herb, R. Johnson On the Plancherel formula for algebraic real Lie groups, Lie Group Representations, III (College Park, Md., 1982/1983) (Lecture notes in Mathematics), Volume 1077 (1982), pp. 101-165 | Zbl

[8] M. Duflo; G. Heckman; M. Vergne Projection d'orbites, formule de Kirillov et formule de Blattner, Mem. Soc. Math. Fr, Volume 15 (1984), pp. 65-128 | Numdam | MR | Zbl

[9] M. Duflo; C. C. Moore On the Regular Representation of a Nonunimodular Locally Compact Group, J. Funct. Anal, Volume 21 (1976), pp. 209-243 | DOI | MR | Zbl

[10] M. Duflo; M. Raïs Sur l'analyse harmonique sur les groupes de Lie résolubles, Ann. Scien. Ecole Norm. Sup, Volume 9 (1976), pp. 107-144 | Numdam | MR | Zbl

[11] M. Duflo; M. Vergne Une propriété de la représentation co-adjointe d'une algèbre de Lie, C. R. Acad. Sci. Paris, Sé. A-B, Volume 268 (1969), pp. 583-585 | MR | Zbl

[12] M. Duflo; M. Vergne La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, Representations of Lie Groups (Kyoto, Hiroshima, 1986) (Adv. Stud. Pure Math.), Volume 14 (1988) | Zbl

[13] M. Duflo; M. Vergne Cohomologie équivariante et descente, Astérisque, Volume 215 (1993), pp. 1-108 | MR

[14] Harish; - Chandra Invariant eigendistribution on a semisimple Lie group, Trans. Amer. Math. Soc, Volume 119 (1965), pp. 457-508 | DOI | MR | Zbl

[15] M.S. Khalgui Sur les caractères des groupes de Lie à radical cocompact, Bull. Soc. Math. France, Volume 109 (1981), pp. 331-372 | Numdam | MR | Zbl

[16] M.S. Khalgui Caractères des groupes de Lie, J. Funct. Anal, Volume 47 (1982), pp. 64-77 | DOI | MR | Zbl

[17] M.S. Khalgui Caractères des représentations factorielles normales d'un groupe de Lie connexe, Mém. Soc. Math. France, Volume 15 (1984), pp. 219-253 | Numdam | MR | Zbl

[18] M.S. Khalgui; P. Torasso Formule de Poisson-Plancherel pour un groupe presque algébrique réel. I. Transformée de Fourier d'intégrales orbitales, J. Funct. Anal, Volume 116 (1993), pp. 359-440 | DOI | MR | Zbl

[19] A. A. Kirillov Characters of unitary representations of Lie groups, Funct. Anal. Appl, Volume 2 (1968), pp. 40-55 | MR | Zbl

[20] A. A. Kirillov Characters of the unitary representations of Lie groups : Reduction theorems, Funct. Anal. Appl, Volume 3 (1969), pp. 36-47 | MR | Zbl

[21] K. Maktouf Le caractère de la représentation métaplectique et la formule du caractère pour certaines représentations d'un groupe de Lie presque algébrique sur un corps p-adique, J. Funct. Anal, Volume 164 (1999), pp. 249-339 | DOI | MR | Zbl

[22] N. V. Pedersen Semicharacters and solvable Lie groups, Math. Ann, Volume 247 (1980), pp. 191-244 | DOI | MR | Zbl

[23] L. Pukanszky Unitary representations of solvable Lie groups, Ann. Scien. École Norm. Sup, Volume 4 (1971), pp. 81-137 | Numdam | MR | Zbl

[24] V. S. Varadarajan Harmonic Analysis on Real Reductive Lie Groups, Lecture Notes in Mathematics, vol. 576, Springer-Verlag, Berlin/New York, 1977 | MR | Zbl