Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle

Langevin, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 1, pp. 1-48.

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” :

$$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$

Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant $\left(\mu \right)$. L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ formé des éléments tels que $H_0=1,H_1=X$ (ou $(\partial S/\partial T)(X,O)=X$, $S(X,O)=1$), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.

Soit $\gamma$ (resp. d) l’application définie sur $K\left[X\right]$ par $\gamma \left(P\right(X\left)\right)=P(X+Y)$ (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc $\gamma =\exp \left(Y\mathrm{d}\right)$. L’ensemble des endomorphismes $f$ de $K\left[X\right]$ commutant avec d ou $\gamma$ (modulo l’extension des scalaires à $K\left[Y\right]$) et vérifiant $f\left(1\right)=0,f\left(X\right)=1$, est canoniquement en bijection avec ${\mathrm{NW}}^{\prime }$; en effet, on prouvera qu’à un tel $f$ est associée une base de Jordan $\left(H_n\right)$ appartenant à ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ et pour laquelle $\gamma =\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(Y\right)f^n$ (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise $f$ ou les $\left(H_n\right)$). L’ensemble de ces endomorphismes $f$ est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF$\left(K\right)$ des éléments de $K\left[\right[T\left]\right]$ inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ comme l’orbite de $(X^n/n!)$ dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF$\left(K\right)$ sur ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ définie par :$\left(B,\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n\right)\to \sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)(B^{-1}\left(T\right){)}^n=\sum _{n\ge 0}{K}_n\left(X\right)T^n$. Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.

We study the affine structure of a subset generating all the solutions of the functional equation $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ where $K$ is any commutative field and $S(X,T)$ belongs to $K\left[\right[X,T\left]\right]$ (by combinatorial means, one must assume indeed $\mathrm{char}\left(K\right)=0$ to get non-trivial solutions). The elements of this subset ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ are the formal power series $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$ where the sequence $\left(H_n\right(X\left)\right)\in k\left[X\right]$ satisfies: $H_0=1,H_1=X$ and $H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}{X}_k\left)\right(n,k\ge 0).$ Let define an application $\gamma$ in $K\left[X\right]$ by $\gamma \left(P\right(X\left)\right)=P(X+Y)$ and let d be the standard derivation. By using these notations, the classical Taylor’s formula can be written: $\gamma =\exp \left(Y\mathrm{d}\right)$. We shall show that there is a canonical bijection between ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ and the set of endomorphisms $f$ of the $K$-space $K\left[X\right]$ which commute with $\gamma$ or d and s.t. $f\left(1\right)=0,f\left(X\right)=1$. More precisely, for such a $f$, there exists $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n\in {\mathrm{NW}}^{\prime }$ s.t. $\gamma =\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(Y\right)f^n$ (reciprocally, this is a “Taylor’s formula” which characterizes $f$ or $\left(H_n\right(X\left)\right)$). The set of these endomorphisms $f$ is the orbit under the operation of the group GSF$\left(K\right)$ (the group of series $B\left(T\right)=\sum _{n>0}{b}_n{T}^n$ with $b_n\in K$ and $b_1=1$ which are invertible for the composition of the formal power series) on ${\mathrm{NW}}^{\prime }$ defined by $\left(B,\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n\right)\to \sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)(B^{-1}\left(T\right){)}^n=\sum _{n\ge 0}{K}_n\left(X\right)T^n$ (and $K_n\left(X\right)\in K\left[X\right]$). From several independent lemmas on linear algebra and combinatorial analysis, one get new developments in various domains: heights in several variables, geometry of polynomials ...

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