Bounded double square functions

Pipher, Jill

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 2, pp. 69-82.

Nous généralisons au bidisque des résultats récents de S. Y. Chang, M. Wilson and T. Wolff.

Pour $f\in L_{loc}^1({\mathbf{R}}^2)$, nous déterminons le meilleur ordre possible d’intégrabilité locale obtenu lorsque la fonction d’aire de $f$ appartient à $L^{\infty }$.

La décomposition de Calderón-Torchinsky nous permet de réduire le problème au cas des martingales doublement dyadiques. Nous prouvons ici une version vectorielle d’un lemme pour les martingales dyadiques qui établit la dépendance exacte en $p$ de $C_p$ dans l’inégalité $\parallel f{\parallel }_p\le C_p\parallel Sf{\parallel }_p$.

We extend some recent work of S. Y. Chang, J. M. Wilson and T. Wolff to the bidisc. For $f\in L_{loc}^1({\mathbf{R}}^2)$, we determine the sharp order of local integrability obtained when the square function of $f$ is in $L^{\infty }$. The Calderón-Torchinsky decomposition reduces the problem to the case of double dyadic martingales. Here we prove a vector-valued form of an inequality for dyadic martingales that yields the sharp dependence on p of $C_p$ in $\parallel f{\parallel }_p\le C_p\parallel Sf{\parallel }_p$.

[1] A. Bernard, Espaces H1 de martingales à deux indices, dualité avec les martingales de types BMO, Bull. Sci. Math., 103 (1979), 297-303. | MR | Zbl

[2] L. Carleson, A counterexample for measures bounded on Hp spaces for the bidisk, Mittag-Leffler Report F. (1974).

[3] S.-Y. A. Chang and R. Fefferman, A continuous version of duality of H1 with BMO on the Bidisk, Ann. Math., 112 (1980), 179-201. | MR | Zbl

[4] S.-Y. A. Chang, J. M. Wilson and T. H. Wolff, Some weighted norm inequalities concerning the Schrödinger operator, Comm. Math. Helv., (1985). | Zbl

[5] R. Durrett, Brownian Motion and Martingales in Analysis, Wadsworth (1984). | MR | Zbl

[6] J. Garnett, Bounded Analytic Functions, Academic Press, New-York (1950).