no. 4
La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels
Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 95-133.

Dans l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie résoluble, on construit un anneau de Weyl caractéristique, canonique et maximal. On peut alors représenter algébriquement l’algèbre de Lie comme des dérivations de cet anneau de Weyl à condition d’effacer un 2-cocycle canonique d’obstruction. Lorsque l’on utilise la représentation de Schrödinger de l’anneau de Weyl, on peut introduire une primitive analytique du 2-cocycle et obtenir une représentation de l’algèbre de Lie par des opérateurs différentiels antisymétriques de degré au plus 2. L’exponentiation de cette représentation déterminera directement la Transformation de Fourier-Plancherel.

In the enveloping algebra of a solvable Lie algebra, one can exhibit a characteristic Weyl algebra which is canonical and maximal. There exists a canonical obstruction 2-cocycle to represent the Lie algebra as derivations of this Weyl-algebra. When the Schrödinger’s representation of the Weyl-algebra is used, one can produce an analytic primitive of this cocycle and obtain a representation of the Lie algebra as antisymmetrical differential operators of degree not bigger than two.

This representation, once exponentiated, will give the Fourier Plancherel transform of the analytic Lie group associated to the algebra.

@article{AIF_1983__33_4_95_0,
     author = {Nghi\^em Xu\^an Hai},
     title = {La transformation de {Fourier-Plancherel} analytique des groupes de {Lie.} {I} : alg\`ebres de {Weyl} et op\'erateurs diff\'erentiels},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {95--133},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {33},
     number = {4},
     year = {1983},
     doi = {10.5802/aif.942},
     mrnumber = {85k:22020a},
     zbl = {0498.43008},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/}
}
TY  - JOUR
AU  - Nghiêm Xuân Hai
TI  - La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1983
SP  - 95
EP  - 133
VL  - 33
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/
DO  - 10.5802/aif.942
LA  - fr
ID  - AIF_1983__33_4_95_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Nghiêm Xuân Hai
%T La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1983
%P 95-133
%V 33
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/
%R 10.5802/aif.942
%G fr
%F AIF_1983__33_4_95_0
Nghiêm Xuân Hai. La transformation de Fourier-Plancherel analytique des groupes de Lie. I : algèbres de Weyl et opérateurs différentiels. Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 95-133. doi : 10.5802/aif.942. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.942/

[1] P. Bernat, N. Conze, M. Duflo, etc., Représentations des groupes de Lie résolubles, Paris, Dunod, 1972. | MR | Zbl

[2] N. Conze, Quotients primitifs des algèbres enveloppantes et algèbres d'opérateurs différentiels, C.R.A.S., Paris, 277 (1973), 1033-1036. | MR | Zbl

[3] J. Dixmier, Sur les Algèbres de Weyl, Bull. Sci. Math., 94 (1970), 289-301. | MR | Zbl

[4] J. J. Duistermaat et L. Hörmander, Fourier-integral operators II, Acta Math., 128 (1972), 183-269. | MR | Zbl

[5] J. J. Duistermaat, Fourier-integral operators, Lecture note Courant Institute of Math. Sci. New York, 1973. | MR | Zbl

[6] I. M. Gelfand et A. A. Kirillov, Sur les corps liés aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie, Publ. Math. I.H.E.S., 31 (1966), 5-20. | Numdam | MR | Zbl

[7] I. M. Gelfand et A. A. Kirillov, Structure des corps liés aux algèbres de Lie semi-simples déployés, Fonct. analiz i evo pril., Vol. 3, n° 1 (1969), 7-26. | Zbl

[8] L. Hörmander, Fourier-integral operators I, Acta Math. ; 127 (1971), 79-183. | MR | Zbl

[9] Nghiêm Xuân Hai, Réduction de produits semi-directs et conjecture de Gelfand et Kirillov, Bull. Soc. Math. France, 107 (1979), 241-267. | Numdam | MR | Zbl

[10] Nghiêm Xuân Hai, Sur certaines représentations d'une algèbre de Lie résoluble complexe I, Bull. Sci. Math., 2e Série 97 (1973), 105-128. | MR | Zbl

[11] Nghiêm Xuân Hai, Construction analytique de la transformation de Fourier-Plancherel des groupes de Lie. Cours de 3e Cycle Orsay, Université de Paris-Sud (1979), Publ. Math. Orsay, 79-06. | MR | Zbl

[12] L. Pukanszky, Unitary representation of solvable Lie Groups, Ann. Sci. E.N.S., 4e Série, 4 (1971), 457-608. | Numdam | MR | Zbl

[13] F. Trèves, Introduction to pseudodifferential operators and Fourier-integral operators. Vol. I & II, Plenum Press, New York and London, 1980. | Zbl

Cité par Sources :