Unfoldings of foliations with multiform first integrals

Suwa, Tatsuo

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 3, pp. 99-112.

Soit $F=\left(\omega \right)$ un feuilletage local de codim 1 engendré par un germe $\omega$ de la forme $\omega =f_1...f_p{\sum }_{i=1}^p{\lambda }_i\frac{d{f}_i}{f_i}$ pour des nombres complexes ${\lambda }_i$ et des germes $f_i$ de fonctions holomorphes à l’origine dans ${\mathbf{C}}^n$. Nous déterminons, sous certaines hypothèses, l’ensemble des classes d’équivalence des déploiements à l’ordre premier et construisons explicitement un des déploiements universels de $F$. En particulier, les feuilletages admettant des intégrales premières holomorphes ou méromorphes sont du type considéré ci-dessus. Nous montrons aussi que la théorie de déploiement pour $F$ est équivalente à celle pour la fonction multiforme $f=f_1^{{\lambda }_1}...f_p^{{\lambda }_p}$. Ainsi un déploiement universel de $f$ est aussi donné explicitement.

Let $F=\left(\omega \right)$ be a codim 1 local foliation generated by a germ $\omega$ of the form $\omega =f_1...f_p{\sum }_{i=1}^p{\lambda }_i\frac{d{f}_i}{f_i}$ for some complex numbers ${\lambda }_i$ and germs $f_i$ of holomorphic functions at the origin in ${\mathbf{C}}^n$. We determine, under some conditions, the set of equivalence classes of first order unfoldings and construct explicitly a universal unfolding of $F$. Special cases of this include foliations with holomorphic or meromorphic first integrals. We also show that the unfolding theory for $F$ is equivalent to the unfolding theory for the multiform function $f=f_1^{{\lambda }_1}...f_p^{{\lambda }_p}$. Thus a universal unfolding of $f$ is also given explicity.

[1] D. Cerveau, Contribution à l'étude des formes intégrables singulières, Thèse, Université de Dijon, 1981.

[2] D. Cerveau et A. Lins Neto, Formes intégrables tangentes à des actions commutatives, C.R.A.S., Paris, 291 (1980), 647-649. | MR | Zbl

[3] D. Cerveau et J.F. Mattei, Intégrales premières, to appear in Astérisque.

[4] D. Cerveau et R. Moussu, Extension de facteurs intégrants et applications, C.R.A.S., Paris, 294 (1982), 17-19. | MR | Zbl

[5] J.F. Mattei et R. Moussu, Holonomie et intégrales premières, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13 (1980), 469-523. | Numdam | MR | Zbl

[6] T. Suwa, Unfoldings of complex analytic foliations with singularities, to appear in Japanese J. of Math., 9 (1983). | MR | Zbl

[7] T. Suwa, A theorem of versality for unfoldings of complex analytic foliation singularities, Invent. Math., 65 (1981), 29-48. | MR | Zbl

[8] T. Suwa, Singularities of complex analytic foliations, to appear in the Proceedings of Symposia in Pure Math. 40, Amer. Math. Soc. | MR | Zbl

[9] T. Suwa, Kupka-Reeb phenomena and universal unfoldings of certain foliation singularities, to appear in Osaka J. of Math., 20. | MR | Zbl

[10] T. Suwa, Unfoldings of meromorphic functions, Math. Ann., 262 (1983), 215-224. | MR | Zbl