Décomposition microlocale analytique des distributions

Bengel, G.; Schapira, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 3, pp. 101-124.

Nous dirons qu’un faisceau de groupes abéliens $ℱ$ sur un espace topologique $X$ est souple si, $\Omega$ étant un ouvert de $X$, $F_1$ et $F_2$ des fermés de $\Omega$, toute section de $ℱ$ sur $\Omega$ à support dans $F_1\cup F_2$ est somme de sections à support dans $F_1$ et $F_2$. Soit $M$ une variété analytique réelle, $S^{*}M$ son fibré cotangent en sphères, $C^f$ le faisceau sur $S^{*}M$ des microfonctions qui proviennent localement sur $S^{*}M$, de distributions. Nous montrons que le faisceau $C^f$ est souple. En particulier le faisceau ${𝒟}^{\prime }/𝒜$ sur $M$, quotient des distributions par les fonctions analytiques est souple. Nous montrons aussi que le faisceau des valeurs au bord de fonctions holomorphes à croissance modérée sur le bord d’un ouvert strictement pseudoconvexe est un faisceau souple. Pour obtenir ces théorèmes nous utilisons une représentation intégrale des sections de $C^f$ due à M. Bony et les méthodes $L^2$ de M. Hörmander pour la résolution d’un problème de Cousin avec condition de croissance.

We call a sheaf of abelian groups $ℱ$ on a topological space $X$ flexibel if, $\Omega$ being an open subset of $X$, $F_1$ and $F_2$ closed in $\Omega$, every section of $ℱ$ on $\Omega$ with support in $F_1\cup F_2$ is the sum of sections in $F_1$ and $F_2$. Let $M$ be a real analytic manifold, $S^{*}M$ its cospherebundel, $C^f$ the sheaf of those microfunctions which locally on $S^{*}M$ come from distributions. We show that the sheaf $C^f$ is flexibel. In particular the sheaf ${𝒟}^{\prime }/𝒜$ on $M$, quotient of the sheaf of distributions by the analytic function is flexibel. We show also that the sheaf of boundary values of holomorphic functions with slow growth on the boundary of a strictly pseudoconvex open set is flexibel. In proving these theorems we use an integral representations of the sections of $C^f$ due to Bony and Hörmander’s $L^2$-estimates for the solution of a Cousin-problem with bounds.

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