Ultraconvergence et singularités pour une classe de séries d'exponentielles

Blambert, Maurice; Parvatham, R.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 239-262.

Localisation des singularités des fonctions analytiques définies par des séries du type $\Sigma {\mathbf{P}}_n\left(s\right)$exp$(-s{\lambda }_n$, où les ${\lambda }_n$ sont complexes et où les ${\mathbf{P}}_n\left(s\right)$ sont des polynômes tayloriens, en utilisant des propriétés obtenues selon deux méthodes originellement dues l’une à B. Lepson pour les séries d’exponentielles à coefficients polynomiaux et dont la suite des exposants est une $D$-suite et l’autre à G. L. Luntz pour les séries de Taylor-Dirichlet. Le résultat fondamental utilise un théorème de A. F. Leont’ev-G. P. Lapin sur l’interpolation des fonctions entières du type exponentiel, avec des conditions portant sur les valeurs de ces fonctions et certaines de leurs dérivées en des points déterminés.

G. L. Luntz had obtained the results on the overconvergence for exponential series with constant complex coefficients and for Taylor-Dirichlet series. Here, we have proved results on the overconvergence of our series of the type $\Sigma {\mathbf{P}}_n\left(s\right)$exp$(-s{\lambda }_n$, where the ${\lambda }_n$ are complex numbers and ${\mathbf{P}}_n\left(s\right)$ are polynomials. Further by using a theorem due to A. F. Leont’ev-G. P. Lapin on the interpolation of entire functions of exponential type with certain conditions on the values of these functions and their derivatives at certain points, we obtain results on the localisation of singular points of analytic functions defined by our series.

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