Annulation du groupe des $\ell$-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell$

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 15-32.

Soit $\ell$ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $\mathbf{Q}$ de degré premier à $\ell$ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\varphi$ ($\varphi \ne 1$) un caractère $\ell$-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell$-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell$ et soit $𝒜$ le ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[G\right]$-module Gal$(M/K)$ ; ${𝒜}^{\varphi }$ (la $\varphi$-composante de $𝒜$) est un module fini sur l’anneau des entiers ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ de ${\mathbf{Q}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ (corps des valeurs sur ${\mathbf{Q}}_{\ell }$ d’un caractère ${\psi }^{\prime }$ de degré 1 divisant $\varphi$). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément ${𝒮}_n$ de ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ qui annule le module ${𝒜}^{\varphi }/{𝒜}^{\varphi {\ell }^{n+1}}$. On montre ensuite que la suite des ${𝒮}_n$ a une limite $\ell$-adique (qui annule ${𝒜}^{\varphi }$) et que cette limite est le nombre $L_{\ell }(1,{\psi }^{\prime })$ (valeur en “$s=1$” de la fonction $L$ $\ell$-adique relative au caractère ${\psi }^{\prime }$).

Let $\ell$ be an odd prime number. Let $K$ be a real abelian extension of $\mathbf{Q}$ with a degree prime to $\ell$ and let $G$ be the Galois group of $K/\mathbf{Q}$; Let $\varphi$ ($\varphi \ne 1$) be an irreducible $\ell$-adic character of $K$. Let $M$ be the maximal abelian $\ell$-extension of $K$ unramified outside $\ell$ and let $𝒜$ be the ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[G\right]$-module Gal$(M/K)$ ; ${𝒜}^{\varphi }$ (the $\varphi$-component of $𝒜$) is a finite module over the ring of integers ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ of ${\mathbf{Q}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ (field generated over ${\mathbf{Q}}_{\ell }$ by the values of a character ${\psi }^{\prime }$ of degree 1 dividing $\varphi$). We construct explicitely, for all $n\ge 0$, an element ${𝒮}_n$ in ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\prime }}$ which annihilates the module ${𝒜}^{\varphi }/{𝒜}^{\varphi {\ell }^{n+1}}$. We then show that the sequence ${𝒮}_n$ has a $\ell$-adic limit (which annihilates ${𝒜}^{\varphi }$) and that this limit is the number $L_{\ell }(1,{\psi }^{\prime })$ (value at “$s=1$” of the $\ell$-adic $L$ function of the character ${\psi }^{\prime }$).

[1] J. Coates and S. Lichtenbaum, On ℓ-adic Zeta functions, Ann. of Math., 98 (1973), 498-550. | MR | Zbl

[2] J. Fresnel, Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 17, 2 (1967), 281-333. | Numdam | MR | Zbl

[3] R. Gillard, Sur le groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes réelles, à paraître dans le Sém. Delange, Pisot, Poitou (exposé du 3 janvier 1977). | Numdam | MR | Zbl

[4] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR | Zbl

[5] G. Gras, Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).

[6] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Soc. Math. France, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | Numdam | MR | Zbl

[7] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR | Zbl

[8] K. Iwasawa, On Zℓ-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR | Zbl

[9] B. Oriat et Ph. Satge, Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.