Quelques exemples de feuilletages espèces rares

Hector, Gilbert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 239-264.

On répartit habituellement les feuilles d’un feuilletage de codimension 1 sur une variété $M$ en trois types :

i) feuilles propres i.e. ouvertes dans leur adhérence ;

ii) feuilles localement denses ;

iii) feuilles exceptionnelles i.e. ni propres, ni localement denses.

Lorsque le mélange des feuilles des divers types dans un même feuilletage est suffisamment complexe, on dit qu’on a affaire à un feuilletage “espèce rare". Le but du présent travail est alors de constituer une sorte d’“herbier des espèces rares" sur $M=R^3$ ou $M=V\times S^1$ (où $V$ désigne la surface compacte de genre 2). Mais si toutes les espèces rares sont réalisées sur $R^3$ en classe $C^{\infty }$, il ne nous a été possible de réaliser certaines d’entre elles qu’en classe $C^0$ sur $V\times S^1$. En particulier reste ouvert le problème de savoir s’il existe en classe $C^2$, sur une variété compacte, des feuilletages dont toutes les feuilles soient exceptionnelles.

Usually, the leaves of a codimension 1 foliation on a manifold $M$ are classified into three types:

i) proper leaves;

ii) leaves which are locally dense;

iii) exceptional leaves i.e. leaves which are neither proper nor locally dense.

If for a given foliation, leaves of different types are very strongly mixed the foliation is said to be a “rare species”. Here we are interested in making an exhaustive collection of rare species on $M=R^3$ or $M=V\times S^1$ (where $V$ is the compact surface of genus 2). In $R^3$ all the rare species are of class $C^{\infty }$ whereas some of them on $V\times S^1$ have only been constructed here in class $C^0$.

In particular, it is an open question whether there exists on a compact manifold a foliation of class $C^2$ with all the leaves exceptional.

[1] A. Denjoy, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. de Math., 9 (11) (1932), 333-375. | JFM | Numdam

[2] A. Haefliger, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Comm. Math. Helv., 32 (1958), 249-329. | MR | Zbl

[3] A. Haefliger, Variétés feuilletées, Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 16 (1964), 367-397. | Numdam | MR | Zbl

[4] G. Hector, Sur le type des feuilletages transverses de R3, C.R. Acad. Sc., Paris, 273 (1971), 810-813. | MR | Zbl

[5] G. Hector, Sur un théorème de structure des feuilletages de codimension un. Thèse, Strasbourg, (1972).

[6] W. Kaplan, Regular curve-families filling the plane Part. I: Duke Math. J., 7 (1940), 154-185. Part. II : Duke Math. J., (1941), 11-46. | JFM | MR | Zbl

[7] H. Poincare, Sur les courbes définies par les équations différentielles, J. Math. Pures et Appl., I (1885), 167-244 et Oeuvres complètes T.I., 137-158. | JFM | Numdam

[8] G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Act. Sc. et Ind., Hermann, Paris, 1952. | MR | Zbl

[9] G. Reeb, Sur les structures feuilletées de codimension 1 et sur un théorème de M.A. Denjoy, Ann. Inst. Fourier, 11 (1961), 185-200. | Numdam | MR | Zbl

[10] H. Rosenberg et R. Roussarie, Les feuilles exceptionnelles ne sont pas exceptionnelles, Comm. Math. Helv., 45 (1970), 517-523. | MR | Zbl

[11] R. Sacksteder, On the existence of exceptional leaves in foliations of codimension one, Ann. Inst. Fourier, 14 (2), (1964), 221-226. | Numdam | MR | Zbl

[12] R. Sacksteder, Foliations and pseudo-groups, Amer. J. of Math., 87 (1965), 79-102. | MR | Zbl

[13] A. Schwartz, A generalization of the Poincaré-Bendixson theorem to closed two-dimensional manifolds. Amer. J. of. Math., 85 (1963), 453-458. | MR | Zbl

[14] C.L. Siegel, Notes on differential equations on the torus, Ann. of Math., 46 (1945), 423-428. | MR | Zbl

[15] J. Wood, Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv., 46 (1971), 257-273. | MR | Zbl