Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan

Quê, Ngô van; Rodrigues, A.A.M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 251-280.

De même qu’avec les groupes de Lie, à tout pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta$ sur $R^n$ il est associé de façon naturelle une algèbre de Lie $L\left(\theta \right)$, qui est une sous-algèbre de Lie fermée de l’algèbre de Lie $D$ de tous les champs de vecteurs formels de $R^n$, l’algèbre $D$ étant munie de la topologie définie par la filtration naturelle de l’algèbre des séries formelles. Le troisième théorème fondamental de Cartan dit qu’inversement étant donnée une sous-algèbre de Lie transitive fermée $L$ de l’algèbre $D$, il existe un pseudo-groupe infinitésimal de Lie $\theta$ sur $R^n$ tel que son algèbre de Lie associée soit isomorphe à $L$. On précise dans ce travail les principaux arguments de Cartan, utilisés pour la démonstration de ce théorème, dans le cadre actuel du développement de la théorie des pseudo-groupes de Lie. On y démontre aussi les théorèmes dits de réalisation relative et homogène dont le résultat peut se résumer ainsi : si $\theta$ est un pseudo-groupe de Lie analytique et transitif sur $R^n$, alors pour toute sous-algèbre fermée $H$ de $L\left(\theta \right)$ telle que son normalisateur dans $L\left(\theta \right)$ soit une algèbre de Lie filtrée transitive, il existe un sous-pseudo-groupe infinitésimal ${\theta }_0$ de $\theta$, ayant son algèbre de Lie associée isomorphe à $H$.

In a same way as in the theory of Lie groups, one can associate to any Infinitesimal Lie Pseudogroup $\theta$ over $R^n$ a Lie algebra $L\left(\theta \right)$, which is a closed sub-Lie algebra of the algebra $D$ of all formal vector fields on $R^n$, the algebra $D$ possessing the topology defined by the natural filtration of the algebra of formal power series. The third theorem of Cartan states that inversely given any closed and transitive Lie sub-algebra $L$ of $D$, there is an Infinitesimal Lie Pseudogroup $\theta$ over $R^n$ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to $L$. In this work we reformulate the main arguments of Cartan proving this theorem in the actual development state of the theory of Lie Pseudogroups. We prove also the following result: let $\theta$ be an analytic and transitive infinitesimal Pseudogroup over $R^n$. Then for any closed Lie sub-algebra $H$ of $L\left(\theta \right)$, whose normalisator in $L\left(\theta \right)$ is a filtred transitive algebra, there is an infinitesimal Lie sub-pseudogroup ${\theta }_0$ of $\theta$ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to $H$.

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