Holomorphic functions on locally convex topological vector spaces. I. Locally convex topologies on $\mathscr{H}\left(U\right)$

Dineen, Sean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 1, pp. 19-54.

Ce travail est consacré à l’étude des topologies localement convexes sur $\mathbf{H}\left(U\right)$ (lorsque $U$ est un sous-ensemble d’un espace vectoriel topologique localement convexe, $E$, et $\mathbf{H}\left(U\right)$ est l’ensemble des fonctions analytiques sur $U$). Nous discuterons les topologies suivantes sur $\mathbf{H}\left(U\right)$ :

(a) la topologie de la convergence compacte, ${\mathbf{I}}_o$ ;

(b) la topologie bornologique associée avec ${\mathbf{I}}_o$ ;

(c) la topologie engendrée par les semi-normes portables par un compact, de $U$, ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ;

(d) la topologie bornologique associée avec ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ; et

(e) la ${\mathbf{I}}_{\omega }$ topologie de Nachbin.

Pour $U$ balancé nous démontrerons que ces topologies ont rapport avec quelques espaces de convergence de la série de Taylor en $o$. Cette démonstration nous permet d’obtenir un critère pour l’égalité des topologies diverses sur $\mathbf{I}\left(u\right)$, et de construire des contre-exemples si l’égalité n’existe pas.

This article is devoted to a study of locally convex topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$ (where $U$ is an open subset of the locally convex topological vector space $E$ and $\mathbf{H}\left(U\right)$ is the set of all complex valued holomorphic functions on $E$). We discuss the following topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$:

(a) the compact open topology ${\mathbf{I}}_0$,

(b) the bornological topology associated with ${\mathbf{I}}_0$,

(c) the ported topology of Nachbin ${\mathbf{I}}_{\omega }$,

(d) the bornological topology associated with ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ; and

(e) the ${\mathbf{I}}_{\omega }$ topological of Nachbin.

For $U$ balanced we show these topologies are related to various kinds of convergence of the Taylor series at $o$. This in turn allows us to obtain criterion for equality of different topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$ and to construct counterexamples when we do not have equality.

[1] R.M. Aron, Topological properties of the space of holomorphic mappings, Thesis, University of Rochester 1970.

[2] R.M. Aron, Sur la topologie bornologique pour l'espace d'applications holomorphes, C.R. Acad. Sc., Paris, t 272, 872-873, 1971. | MR | Zbl

[3] J.A. Barroso, Topologias nos espacos de aplicacoes holomorfas entre espacos localmente convexos, (to appear in Anais de Acad. Brasil de Cienciais).

[4] J.A. Barroso, Topologies sur les espaces d'applications holomorphes entre des espaces localement convexes, C.R. Acad. Sc., Paris, t 271, 264-265, 1970. | MR | Zbl

[5] J. Bochnak, J. Siciak, Fonctions analytiques dans les espaces vectoriels réels ou complexes, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 270, 1970, 643-646. | MR | Zbl

[6] J. Bochnak, J. Siciak, Analytic functions in topological vector spaces, Studia Math. 39, 1, 1971. | MR | Zbl

[7] S.B. Chae, Holomorphic germs on Banach spaces, Thesis, University of Rochester, 1969.

[8] S.B. Chae, Sur les espaces localement de germes holomorphes, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 271, 990-991, 1970. | MR | Zbl

[9] G. Coeuré, Fonctions plurisousharmoniques sur les espaces vectoriels topologiques, Annales de l'Institut Fourier, t. 20, 361-432, 1970. | Numdam | MR | Zbl

[10] G. Coeuré, Fonctionnelles analytiques sur certains espaces de Banach, Annales de l'Institut Fourier, 21, 2, 15-21, 1971. | Numdam | MR | Zbl

[11] S. Dineen, Holomorphy types on a Banach space, Thesis, University of Maryland, 1969, Studia Math., 39, 241-288, 1971. | Zbl

[12] S. Dineen, Unbounded holomorphic functions on a Banach space, J. Lond. Math. Soc., Vol. 4, 3, 461-465, 1972. | MR | Zbl

[13] S. Dineen, Bounding subsets of a Banach space, Math. Annalen, 192, 61-70, (1971). | MR | Zbl

[14] S. Dineen, Holomorphic functions on (co, Xb)-Modules, Math. Annalen, 196, 106-116, 1972. | MR | Zbl

[15] S. Dineen, Topologie de Nachbin et prolongement analytique en dimension infinie, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 271, 643-644, 1970. | MR | Zbl

[16] S. Dineen, The Cartan-Thullen theorem for Banach spaces, Annali Scuola Normale Sup., Pisa, 24, 4, 667-674, 1970. | Numdam | MR | Zbl

[17] A. Hirschowitz, Bornologie des espaces de fonctions analytiques en dimension infinie, Séminaire P. Lelong, 1970, Springer-Verlag, Bd. 205, 1971. | Zbl

[18] A. Hirschowitz, Sur les suites de fonctions analytiques, Ann. Inst. Fourier, 20, 2, 1971. | Numdam | MR | Zbl

[19] A. Hirschowitz, Sur un théorème de M.A. Zorn. | Zbl

[20] L. Hormander, An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand 1966. | MR | Zbl

[21] J. Horvath, Topological vector spaces and distributions, Vol. 1., Addison-Wesley 1966. | MR | Zbl

[22] N.J. Kalton, Schauder decompositions and completeness, J. Lond. Math. Soc. 2, 1970 34-36. | MR | Zbl

[23] N.J. Kalton, Schauder decompositions in locally convex spaces, P. Camb. Phil. Soc. 1970, 68, 377, 68-75. | MR | Zbl

[24] P. Lelong, Recent results on analytic mappings and plurisubharmonic functions in topological linear spaces, Internat. Conf. on several complex variables, Univ. of Maryland 1970. Springer-Verlag, Bd 185, 1971. | Zbl

[25] P. Lelong, Théorème de Banach-Steinhaus pour les polynômes, applications entières d'espaces vectoriels complexes, Séminaire Lelong 1970. Springer-Verlag, Bd. 205. | Zbl

[26] M.C. Matos, Holomorphic mappings and domains of holomorphy, Thesis, University of Rochester 1970. | Zbl

[27] M.C. Matos, Sur les applications holomorphes définies dans les espaces vectoriels topologiques de Baire, C.R. Acad. Sc., Paris t. 271, p. 599, 1970. | MR | Zbl

[28] L. Nachbin, Topology on spaces of holomorphic mappings. Ergebnisse der Mathematik, 47, 1969, Springer-Verlag. | MR | Zbl

[29] L. Nachbin, Sur les espaces vectoriels topologiques d'applications continues, C.R. Acad., Sc., Paris, t. 271, 1970, p. 596-598. | MR | Zbl

[30] L. Nachbin, Concerning spaces of holomorphic mappings, Dept. of Mathematics, Rutgers University, New Brunswick, 1970. | Zbl

[31] L. Nachbin, Topological vector spaces of continuous functions, Proc. Amer. Acad. Sc., 40, 1954, 471-474. | MR | Zbl

[32] L. Nachbin, Holomorphic functions, domains of holomorphy, local properties, North Holland, 1970. | MR | Zbl

[33] Ph. Noverraz, Pseudo convexité et convexité polynomiale. Cours IMPA (Rio) 1971, (in preparation North Holland).

[34] Ph. Noverraz, Sur la convexité fonctionnelle dans les espaces de Banach à base, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 271, 990-992, 1970.

[35] F. Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press 1967. | MR | Zbl

[36] M.A. Zorn, Characterisation of analytic functions in Banach spaces, Annals of Math., 2 (46), 1945, 585-593. | Zbl