Fonctions plurisousharmoniques sur les espaces vectoriels topologiques et applications à l'étude des fonctions analytiques

Cœuré, Gérard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 1, pp. 361-432.

Les propriétés générales des fonctions plurisousharmoniques définies sur une partie $f$-ouverte d’un e.v.t. $E$ sont établies. Lorsque $E$ est supposé quasi-complet, l’auteur généralise la mesure de Cauchy aux “polycercles”. À l’aide de ces mesures, l’auteur étend à la dimension infinie quelques propriétés des ensembles strictement polaires.

Dans une seconde partie, la caractérisation de Bremermann des ensembles pseudo-convexes est étendue à une variété $X$, étalée sur un espace de Banach $E$. Puis en supposant $E$ séparable, l’auteur construit sur l’anneau ${\mathbf{O}}_X$ des fonctions holomorphes sur $X$, une topologie $\mathbf{T}$, bornologique, plus fine que celle $({\mathbf{I}}_p$ introduite par L. Nachbin). Elle permet à l’auteur de démontrer que, pour tout couple de prolongement $(X,Y)$, les espace ${\mathbf{O}}_X$ et ${\mathbf{O}}_Y$ sont topologiquement isomorphes et que $(X,Y)$ est aussi un couple de prolongement pour les fonctions holomorphes à valeurs vectorielles ; de plus, l’auteur munit une partie $\mathbf{E}\left(X\right)$ du spectre de ${\mathbf{O}}_X$ d’une structure de variété étalée telle que $(X,\mathbf{E}(X\left)\right)$ soit un couple de prolongement.

Le dernier chapitre est une généralisation des espaces de Hardy aux domaines bornés, disqués, de ${\mathbf{C}}^n$.

The general properties of plurisubharmonic functions whose set of definition is a finitely-open set of a linear topological space $E$, are proved. If $E$ is assumed locally-convex and quasi-complete, the author generalises the Cauchy measure to “polycircles”; so, some properties of strictly polar sets in Frechet space are extended in infinitely dimension. The Bremermann characterisation of pseudo-convex sets is extended to a variety $X$ spread over a Banach space $E$. These, when $E$ is separable a new bornological topology, finer than $L$. Nachbin topology is defined on the ring $O_x$ of scalar analytic functions on $X$. So let $(X,Y)$ a scalar extension pair, then $G_x\hookrightarrow G_y$ is a topological isomorphism and $(X,Y)$ is an extension pair for vector valued functions. The spectrum of $G_x$ is studied. The end of this work is a generalisation of Hardy spaces to bounded circular domain in ${\mathbf{C}}^n$.

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