Fegen und Dünnheit mit Anwendungen auf die Laplace-und Wärmeleitungsgleichung

Hansen, Wolfhard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 79-121.

On étudie quelques propriétés du balayage de mesures dans un espace harmonique au sens du H. Bauer. En particulier, on s’intéresse à caractériser l’effilement d’une partie en un point. Pour l’équation de la chaleur, on obtient le résultat suivant : soit $E={\mathbf{R}}^{m+1}$ muni du faisceau des solutions de

$$\sum _{i=1}^m\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{\partial u}{\partial x_{m+1}}$$

et $B$ une partie de ${\mathbf{R}}^m\times [-\infty ,0]$ satisfaisant à

$$\left\{\right(\alpha x,{\alpha }^{2}t):(x,t)\in B,x\in {\mathbf{R}}^m,t\in \mathbf{R}\}\subset B$$

pour $\alpha >0$ arbitrairement petit. Alors $B$ est effilée en 0 si et seulement si $B$ est polaire. Résultat analogue pour l’équation de Laplace. Enfin, on définit la réduite d’une mesure et on montre quelques théorèmes d’approximation pour les réduites et les balayées de mesures.

Several properties of balayage of measures in harmonic spaces are studied. In particular, characterisations of thinness of subsets are given. For the heat equation the following result is obtained: suppose that $E={\mathbf{R}}^{m+1}$ is given the presheaf of solutions of

$$\sum _{i=1}^m\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{\partial u}{\partial x_{m+1}}$$

and $B$ is a subset of ${\mathbf{R}}^m\times [-\infty ,0]$ satisfying

$$\left\{\right(\alpha x,{\alpha }^{2}t):(x,t)\in B,x\in {\mathbf{R}}^m,t\in \mathbf{R}\}\subset B$$

for $\alpha >0$ arbitrarily small. Then $B$ is thin at 0 if and only if $B$ is polar. Similar result for the Laplace equation. At last the reduced of measures is defined and several approximation theorems on reducing and balayage of measures are proved.

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