The Martin boundaries of equivalent sheaves

Taylor, John C.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 1, pp. 433-456.

La compactification de Martin de l’espace $X$ défini par le faisceau $H_1$ satisfaisant l’hypothèse de proportionnalité reste la même en remplaçant $H_1$ par $H_2$, $H_2$ coïncidant avec $H_1$ en dehors d’un compact. Les pointes minimales coïncident et ainsi les cônes topologiques $S_1^{*}$, $S_2^{*}$ sont isomorphes. Le résultat de Nakai sur l’extension à $X$ d’une fonction harmonique en dehors d’un compact est valable dans la théorie de Bauer. Les composantes connexes de la frontière de Martin $\Delta$ correspondent aux bouts de $X$ qui sont reliés à la décomposition directe du cône $H^{+}$.

The Martin compactification of $X$ defined by a Brelot sheaf $H_1$ satisfying proportionality is shown to be the same as for $H_2$ if the sheaves agree outside a compact set. Minimal points coincide and hence $S_1^{+}$ and $S_2^{+}$ are isomorphic topological cones. Nakai’s result on the extension to $X$ of a function harmonic outside a compact set is extended to Bauer’s theory. The connected components of the Martin boundary $\Delta$ correspond to the ends of $X$ which are related to direct decomposition of the cone $H^{+}$.

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