Theory of Bessel potentials. I

Aronszajn, Nachman; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 385-475.

Le présent mémoire est le second dans une série où la théorie des espaces fonctionnels et de la complétion fonctionnelle est développée en général et dans des cas particuliers en vue d’une application systématique aux problèmes différentiels. Dans cette première partie nous nous occupons des classes $P^{\alpha }$ des potentiels de Bessel d’ordre $\alpha$ dans un espace euclidien ${\mathbf{R}}^n$ entier. Nous considérons les classes $p^{\alpha }$ à deux points de vue : 1) comme les complétions parfaites des fonctions $C_0^{\infty }$ relatives aux normes $\parallel u{\parallel }_{\alpha }...$ ce qui les rattache aux problèmes différentiels d’ordre correspondant ; 2) comme potentiels correspondant aux noyaux de Bessel $G_{\alpha }...$ ce qui permet l’étude détaillée de leurs propriétés. Après une analyse approfondie des classes d’ensembles exceptionnels ${\mathbf{U}}_{2\alpha }$ et des capacités ${\gamma }_{2\alpha }$ correspondant à $P^{\alpha }$, nous caractérisons les fonctions de $P^{\alpha }$ par leurs propriétés de différentiabilité. Nous caractérisons aussi les restrictions de ces potentiels aux sous-espaces ${\mathbf{R}}^k$, comme potentiels d’ordre $\alpha -(n-k)/2$ dans ces sous-espaces. Nous considérons encore les potentiels locaux $P_{\mathrm{loc}}^{\alpha }$ dans un ouvert $D\subset {\mathbf{R}}^n$. Ces dernières classes sont essentielles pour les développements des parties ultérieures du mémoire où sera présentée l’étude intrinsèque des classes $P^{\alpha }$ dans un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ ou sur une variété différentiable.

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