Functional spaces and functional completion

Aronszajn, Nachman; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 125-185.

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles $ℱ$ dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble $A\subset ℰ$ appartenant à une classe $𝔞$ d’ensemble ($A$ variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle $\widetilde{ℱ}$ d’une classe fonctionnelle normée $ℱ$ (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet $\widetilde{ℱ}$ dont $ℱ$ soit un sous-espace dense). Le problème n’admet pas toujours de solution et même quand il en admet une, cette solution nécessite en général un élargissement de la classe exceptionnelle $𝔞$. La construction d’une telle classe élargie $\widetilde{𝔞}$ forme la partie essentielle du problème. Pour une classe normée $ℱ$ nous définissions des fonctions sous-additives $c_{\varphi }\left(B\right)$ d’un ensemble $B\subset ℰ$ (que nous appelons capacités ; les classes ${\mathbf{E}}_B[c_{\varphi }\left(B\right)=0]$ présentent des choix acceptables pour $\widetilde{𝔞}$. Nous donnons aussi des conditions suffisantes simples (propriétés de majoration) qui assurent l’existence d’une complétion parfaite, c’est-à-dire avec une classe $\widetilde{𝔞}$ minimale.

Les exemples du second chapitre servent à illustrer la signification et l’utilité des notions introduites dans le premier chapitre. Mentionnons l’exemple 3 où nos capacités servent à étendre le théorème de Fatou sous sa forme la plus précise aux fonctions harmoniques dans un domaine $n$-dimensionnel avec une frontière aux normales lipschitziennes (cette extension était connue même dans un cadre bien plus large mais sous une forme moins précise). Dans l’exemple 4 nous considérons les potentiels d’ordre $\alpha$ de M. Riesz. Nous montrons que dans ce cas notre capacité $c_2$ coïncide avec la capacité usuelle d’ordre $\alpha$. En combinant nos résultats avec des résultats récents de G. Choquet, nous prouvons que les capacités – extérieure et intérieure – d’ordre $\alpha$ sont égales pour les ensembles analytiques (ce fait n’était connu que pour $\alpha \le 2$).

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