Composition dans les espaces de Besov critiques

Allaoui, Salah Eddine; Bourdaud, Gérard

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 4, pp. 875-893.

On considère les opérateurs de composition $T_f\left(g\right):=f\circ g$ agissant sur les espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel à valeurs vectorielles. On suppose que les entiers $k,n$ vérifient $1\le k\le n$, que $p,q\in [1,+\infty ]$ et que $s=\frac{n}{p}>1$. Si $f$ est une fonction de ${ℝ}^k$ dans $ℝ$ telle que $T_f$ envoie $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^k)$ dans $B_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)$, alors $\nabla f$ appartient localement uniformément à $B_{p,q}^{s-1}({ℝ}^k,{ℝ}^k)$. La même assertation est vraie en remplaçant $B_{p,q}^s$ par $F_{p,q}^s$.

We deal with the composition operators $T_f\left(g\right):=f\circ g$ acting on vector valued Besov and Lizorkin-Triebel spaces. Let $k,n$ be natural numbers such that $1\le k\le n$, let $p,q\in [1,+\infty ]$, and let ${\displaystyle s=\frac{n}{p}>1}$. If $f$ is a function of ${ℝ}^k$ to $ℝ$ such that $T_f$ takes $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^k)$ to $B_{p,q}^s\left({ℝ}^n\right)$, then $\nabla f$ belongs locally uniformly to $B_{p,q}^{s-1}({ℝ}^k,{ℝ}^k)$. A similar statement holds by replacing $B_{p,q}^s$ by $F_{p,q}^s$.

[1] Allaoui (S.E.).— Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besovà valeurs vectorielles. Annales mathématiques Blaise Pascal 16, p. 399-429 (2009). | DOI | Numdam | MR | Zbl

[2] Appell (J.), Guanda (N.), Merentes (N.) and Sanchez (J.L.).— Some boundedness and continuity properties of nonlinear composition operators : a survey. Communications in Applied Analysis 15, p. 153-182 (2011). | MR | Zbl

[3] Appell (J.) and Zabrejko (P.).— Nonlinear superposition operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1990). | DOI

[4] Bourdaud (G.).— Sur les opérateurs pseudo-différentiels à coefficients peu réguliers. Thèse, Univ. Paris-Sud, Orsay (1983).

[5] Bourdaud (G.).— Le calcul fonctionnel dans les espaces de Sobolev. Invent. Math. 104, p. 435-446 (1991). | DOI | Zbl

[6] Bourdaud (G.).— Localisations des espaces de Besov. Studia Math. 90, p. 153-163 (1988). | DOI | Zbl

[7] Bourdaud (G.).— La trivialité du calcul fonctionnel dans l’espace $H^{3/2}\left({ℝ}^4\right)$. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 314, p. 187-190 (1992). | Zbl

[8] Bourdaud (G.).— Fonctions qui opèrent sur les espaces de Besov et de Triebel. Ann. I. H. Poincaré - AN 10, p. 413-422 (1993). | DOI | Numdam | Zbl

[9] Bourdaud (G.).— Analyse fonctionnelle dans l’espace Euclidien, 2ème édition, Pub. Math. Univ. Paris 7 23 (1995). | DOI

[10] Bourdaud (G.).— Superposition Operators in Zygmund and $BMO$ spaces, in : D. Haroske, T. Runst, H.-J. Schmeisser (Eds.), Proceedings on “Function Spaces, Differential Operators and Non Linear Analysis”, Birkhäuser, Basel , p. 59-74 (2003). | DOI | Zbl

[11] Bourdaud (G.).— Une propriété de composition dans l’espace $H^s$ (II). C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342, p. 243-246 (2006). | DOI | Zbl

[12] Bourdaud (G.).— Le calcul symbolique dans certaines algèbres de type Sobolev. In : Recent Developments in Fractals and Related Fields, J.Barral, S.Seuret (eds), Birkhäuser, p. 131-144 (2010). | DOI | Zbl

[13] Bourdaud (G.).— Superposition in homogeneous and vector valued Sobolev spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 362, p. 6105-6130 (2010). | DOI | MR | Zbl

[14] Bourdaud (G.).— Realizations of homogeneous Besov and Lizorkin-Triebel spaces. Math. Nachr. 286, p. 476-491 (2013). | DOI | MR | Zbl

[15] Bourdaud (G.) and Lanza de Cristoforis (M.).— Regularity of the symbolic calculus in Besov algebras. Studia Math. 184, p. 271-298 (2008). | DOI | MR

[16] Bourdaud (G.) and Sickel (W.).— Composition operators on function spaces with fractional order of smoothness. RIMS Kokyuroku Bessatsu B26, p. 93-132 (2011).

[17] Brezis (H.) and Mironescu (P.).— Gagliardo-Nirenberg, compositions and products in fractional Sobolev spaces. J. Evol. Equ. 1, p. 387-404 (2001). | DOI | MR | Zbl

[18] Dahlberg (B.E.J.).— A note on Sobolev spaces. Proc. Symp. Pure Math. 35,1, p. 183-185 (1979). | DOI

[19] Igari (S.).— Sur les fonctions qui opèrent sur l’espace ${\widehat{A}}^2$. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 15, p. 525-536 (1965). | DOI | Numdam | MR | Zbl

[20] Kateb (D.).— Fonctions qui opèrent sur les espaces de Besov. Proc. Amer. Math. Soc. 128, p. 735-743 (1999). | DOI | MR | Zbl

[21] Katznelson (Y.).— An introduction to Harmonic Analysis. 3rd ed. Dover Publications, New-York (2002). | DOI | Zbl

[22] Marcus (M.) and Mizel (V.J.).— Complete characterization of functions which act via superposition on Sobolev spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 251, p. 187-218 (1979). | DOI | MR | Zbl

[23] Maz’ya (V.G.) and Shaposnikova (T.O.).— An elementary proof of the Brezis and Mironescu theorem on the composition operator in fractional Sobolev spaces. J. Evol. Equ. 2, p. 113-125 (2002). | DOI | MR

[24] Moussai (M.).— Realizations of homogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces and an application to pointwise multipliers. Analysis and Appl. 13, p. 149-183 (2015). | DOI | MR | Zbl

[25] Runst (T.) and Sickel (W.).— Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations. de Gruyter, Berlin, 1996. Birkhäuser, Basel (1983). | DOI

[26] Triebel (H.).— Theory of Function Spaces II. Birkhäuser, Basel (1992). | DOI

[27] Triebel (H.).— Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, (2nd edition). J.A.Barth, Heidelberg, Leipzig (1995). | DOI | Zbl