Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Allaoui, Salah Eddine

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 2, pp. 399-429.

Dans ce travail on s’intéresse aux opérateurs de composition $T_f\left(g\right):=f\circ g$ sur certains espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel à valeurs dans ${ℝ}^m$. Dans le but de caractériser les fonctions qui opèrent, on établit que la condition de Lipschitz, locale ou globale suivant que l’espace $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ ou $F_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ se plonge ou non dans $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$, est nécessaire pour $s>0$, et que l’appartenance locale au même espace l’est aussi pour $m\le n$. Nous étudions enfin la régularité de l’opérateur $T_f$.

We are interested in the superposition operators $T_f\left(g\right):=f\circ g$ on vector valued Besov and Lizorkin-Triebel spaces of positive smoothness exponent $s$. As a first step towards the characterization of functions which operate, we establish that the local Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ or $F_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ is imbedded into $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$, and that the uniform Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space is not imbedded into $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$. We prove also that the local membership to the same space is necessary for $m\le n$. We finally study the regularity of the superposition operator $T_f$.

[1] Bourdaud, G. Sur les opérateurs pseudo-différentiels à coefficients peu réguliers, Université Paris-Sud, Orsay (1983) (Ph. D. Thesis)

[2] Bourdaud, Gérard La trivialité du calcul fonctionnel dans l’espace $H^{3/2}\left({\mathbf{R}}^4\right)$, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 314 (1992) no. 3, pp. 187-190 | MR | Zbl

[3] Bourdaud, Gérard Fonctions qui opèrent sur les espaces de Besov et de Triebel, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 10 (1993) no. 4, pp. 413-422 | Numdam | MR | Zbl

[4] Bourdaud, Gérard; Lanza de Cristoforis, Massimo Regularity of the symbolic calculus in Besov algebras, Studia Math., Volume 184 (2008) no. 3, pp. 271-298 | DOI | MR | Zbl

[5] Bourdaud, Gérard; Moussai, Madani; Sickel, Winfried An optimal symbolic calculus on Besov algebras, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 23 (2006) no. 6, pp. 949-956 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Frazier, Michael; Jawerth, Björn Decomposition of Besov spaces, Indiana Univ. Math. J., Volume 34 (1985) no. 4, pp. 777-799 | DOI | MR | Zbl

[7] Frazier, Michael; Jawerth, Björn A discrete transform and decompositions of distribution spaces, J. Funct. Anal., Volume 93 (1990) no. 1, pp. 34-170 | DOI | MR | Zbl

[8] Peetre, Jaak New thoughts on Besov spaces, Mathematics Department, Duke University, Durham, N.C., 1976 (Duke University Mathematics Series, No. 1) | MR | Zbl

[9] Runst, Thomas; Sickel, Winfried Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 3, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1996 | MR | Zbl

[10] Triebel, Hans Theory of function spaces, Monographs in Mathematics, 78, Birkhäuser Verlag, Basel, 1983 | MR | Zbl

[11] Triebel, Hans Theory of function spaces. II, Monographs in Mathematics, 84, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992 | MR | Zbl