Les bissections expliquent le théorème de Reidemeister-Singer : Un retour aux sources

Siebenmann, Laurent C.

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Numéro Spécial : Actes du Colloque « Topologie et Géométrie de petite dimension », à l’occasion des 60 ans de Michel Boileau, du 24 au 28 juin 2013 à Toulouse, Tome 24 (2015) no. 5, pp. 1025-1056.

Le théorème de Reidemeister-Singer des années 20 affirme que deux scindements de Heegaard d’une même variété de dimension 3 deviennent isotopes après une suite de sommes connexes deux-à-deux disjointes avec le scindement standard de la 3-sphère le long d’un tore plongé et non-noué. Cet article en donne une preuve qui n’utilise que les idées disponibles lorsque le théorème fut énoncé, en particulier la notion de bissection linéaire pour des complexes tels que ceux utilisés par J. W. Alexander en 1930. L’histoire est rappelée, en particulier celle des diverses démonstrations plus ou moins convaincantes du théorème.

The Reidemeister-Singer theorem of the 1930s asserts that any two Heegaard splittings of a closed $3$-manifold become ambient isotopic after repeated pairwise connected sum with the standard splitting of the $3$-sphere by an embedded and unknotted 2-torus. This article gives a bootstrapping proof using only ideas available when the theorem was first asserted, notably a notion of linear bisection in complexes of a sort used by J.W. Alexander in 1930. Much history is recounted, including various convincing or unconvincing proofs of the theorem.

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