A proof of Reidemeister-Singer’s theorem by Cerf’s methods

Laudenbach, François

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 23 (2014) no. 1, pp. 197-221.

Les concepts de scindement de Heegaard et de diagramme de Heegaard d’une variété fermée $M$ de dimension 3 sont expliqués dans le langage des fonctions de Morse et des pseudo-gradients de type Morse-Smale. Nous utilisons, dans un cadre très simple, des techniques qui ont été développées par Jean Cerf pour la résolution d’un problème célèbre de pseudo-isotopie. Entre autres, nous montrons comment éliminer les maxima locaux surnuméraires dans un chemin générique de fonctions lorsque $dimM>2$. L’outil principal que nous introduisons est un lemme élémentaire de la queue d’aronde.

Heegaard splittings and Heegaard diagrams of a closed 3-manifold $M$ are translated into the language of Morse functions with Morse-Smale pseudo-gradients defined on $M$. We make use in a very simple setting of techniques which Jean Cerf developed for solving a famous pseudo-isotopy problem. In passing, we show how to cancel the supernumerary local extrema in a generic path of functions when $dimM>2$. The main tool that we introduce is an elementary swallow tail lemma which could be useful elsewhere.

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